[论文解读] A Local Resolution of the Problem of Time. II. Configurational Relationalism via a generalization of Group Averaging

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 37被引用 14

一句话总结

本文通过将群平均推广至使用 $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 方法实现配置关系性，解决了量子引力中时间问题的一个方面。它表明，对群 $\mathfrak{g}$ 进行极值化——包括群平均及下确界/上确界运算——可产生规范不变的关联可观测量，其应用涵盖广义相对论的动量约束以及更广泛的几何不变量。

ABSTRACT

In this article, we consider a second Problem of Time Facet. This started life as Wheeler's Thin Sandwich Problem, within the narrow context of 1) GR-as-Geometrodynamics, in particular its momentum constraint. 2) A Lagrangian variables level treatment. Conceiving in terms of Barbour's Best Matching is a freeing from 1), now in the context of first-class linear constraints. Conceiving in terms of the underlying Background Independence aspect - the titular Configurational Relationalism - serves moreover to remove 2) as well. This is implemented by the $G$-act, $G$-all method. I.e. given an object $O$ that is not $G$-invariant, we act on it with $G$ and then apply an operation involving the whole group. This has the effect of double-cancelling the introduction of our group action, thus yielding a $G$-independent version of $O$. A first example of whole-group operation is group averaging. This is a valuable prototype by its familiarity to a large proportion of Mathematics and Physics majors through featuring in elementary Group Theory and Representation Theory courses (and which can be traced back to Cauchy). In particular, this is much more familiar than Thin Sandwiches or Best Matching! Secondly, extremization over the group, of which Best Matching, and taking infs or sups over the group, are examples. Some further significant examples of this method in modern geometry and topology include those of Kendall, Younes, Hausdorff and Gromov. In this way, we populate this approach with examples well beyond the usual GR literature's by DeWitt, Barbour and Fischer (which we also outline).

研究动机与目标

• 解决正则量子引力中时间问题的第二个方面，特别是广义相对论中的动量约束。
• 使时间问题摆脱对广义相对论作为几何动力学及拉格朗日层次表述的狭隘限制。
• 确立配置关系性作为利用群作用与全群运算构造规范不变可观测量的普遍框架。
• 证明群平均与对群的极值化（例如下确界/上确界）是关联可观测量的基础性、广泛应用的原型。
• 将关系性的范围从广义相对论扩展至包括格罗莫夫–豪斯多夫距离和信息论构造在内的几何、拓扑及统计不变量。

提出的方法

• 提出 $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 方法：对非不变对象 $O$ 施加群 $\mathfrak{g}$ 的作用，然后对 $\mathfrak{g}$ 上应用全局运算，以生成 $\mathfrak{g}$-不变版本。
• 将群平均用作 $\mathfrak{g}$-all 运算的熟悉原型，追溯其根源至柯西，并说明其在表示论中的作用。
• 应用对 $\mathfrak{g}$ 的极值化——如下确界或上确界——推广最佳匹配，实现关联距离度量。
• 通过 $\mathfrak{g} = \mathrm{Diff}(\Sigma)$ 将该方法应用于广义相对论的动量约束，将薄夹层问题作为特例恢复。
• 将该框架扩展至如豪斯多夫距离和格罗莫夫–豪斯多夫距离等几何不变量，以及熵和划分函数等物理构造。
• 提出关联构造的选择标准：直接性、物理自然性（例如与作用量或信息的关系），以及向更大配置空间的可延拓性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不局限于广义相对论作为几何动力学的框架下，解决时间问题中动量约束方面的问题？
• RQ2 能否使用统一的群论方法，将配置关系性推广至薄夹层和最佳匹配框架之外？
• RQ3 群平均与对群的极值化在构造量子引力中规范不变的关联可观测量中扮演何种角色？
• RQ4 几何与拓扑中的知名数学构造——如格罗莫夫–豪斯多夫距离——如何融入此关系性框架？
• RQ5 可使用何种标准从大量可能的 $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 运算中选择具有物理意义的关联构造？

主要发现

• $\mathfrak{g}$-act $\mathfrak{g}$-all 方法将群平均与最佳匹配推广为构造 $\mathfrak{g}$-不变可观测量的通用框架。
• 群平均可追溯至柯西，且在表示论中为标准工具，因此可作为关联可观测量的广泛可及原型。
• 对 $\mathfrak{g}$ 的极值化——包括取下确界或上确界——可产生关联距离，如豪斯多夫距离与格罗莫夫–豪斯多夫距离。
• 该方法将薄夹层问题作为 $\mathfrak{g} = \mathrm{Diff}(\Sigma)$ 下最佳匹配的特例恢复，从而统一了经典与关系性方法。
• 配置关系性不仅适用于广义相对论，还可扩展至几何、拓扑及信息论构造，且通过选择标准确保其物理相关性。
• 该框架支持在量子、哈密顿与经典层次上进行关系性构造，且可扩展至具有拓扑变化或更大配置空间的情形。