[论文解读] A Local Resolution of the Problem of Time. III. The other classical facets piecemeal

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 48被引用 14

一句话总结

本文引入了广义相对论中时间问题的九个新经典方面，通过狄拉克与李算法分步解决，重点关注约束闭包、可观测量赋值、时空重建以及叶层/重叶层不变性。主要贡献在于提出了一套基于李数学的坐标无关、多张量微积分框架，系统性地处理背景独立性相关问题，最终通过诸如狄拉克代数丛和可观测量代数等代数结构，实现时间问题的局部化解。

ABSTRACT

We introduce nine further local facets of the classical Problem of Time, and underlying Background Independence aspects, the previous two Articles having covered one further facet-and-aspect each for a total of eleven. I.e. 1) Constraint Closure, 2) Assignment of Observables, 3) Space Construction from Less Structured Space, A) Spacetime Construction from Space, 0') Spacetime Relationalism, 1') Spacetime Generator Closure, 2') Assignment of Spacetime Observables, 3') Spacetime Construction from Less Structured Spacetime, and B) Foliation Independence. These are classically implemented piecemeal by the Dirac Algorithm for 1) and the Lie Algorithm for 1'). Taking Function Spaces Thereover: over phase space for 2) and over the space of spacetimes for 2'). Feeding Deformed Families into the Dirac Algorithm for A) and into the Lie Algorithm for 3) and 3'), working out whenever Rigidity is encountered. Spacetime's diffeomorphism-invariance and perturbative Lie derivative for 0'). Finally, Refoliation Invariance following from the Dirac algebroid of the GR constraints for B). Each of these approaches is moreover grounded in Lie's Mathematics in accord with this Series' claim. The generalizations required to extend these resolutions to solve combined rather than just piecemeal facets is the main subject of Articles V to XIII. We include novel work on, firstly, Closure, including a blockwise breakdown into more specific Closure Problems. Secondly, on a coordinate-free Multi-tensor Calculus suitable for joint treatment of Background Independence aspects, presenting in particular the Dirac Algorithm, and ensuing theory of observables and of deformations. Finally, aspect 3') is new to the current Article.

研究动机与目标

• 解决广义相对论中与背景独立性相关的九个此前未被探索的时间问题新经典方面。
• 通过既有的经典方法（如狄拉克算法和李的数学）分步解决这些方面。
• 开发一种适用于统一处理可观测量、形变与约束结构的坐标无关多张量微积分框架。
• 建立系统化、逻辑有序的经典基础，以克服时间问题，为后续的量子推广铺平道路。
• 阐明时空微分同胚不变性、重叶层不变性以及广义相对论中约束代数结构的作用。

提出的方法

• 应用狄拉克算法解决约束闭包（方面1）与时空生成元闭包（方面1’），确保约束的一致性与完备性。
• 使用李算法处理时空关系性（方面0’）与从较不结构化的时空构造时空（方面3’），特别是通过李导数与流方法。
• 实施“在其上取函数空间”方法以实现可观测量赋值（方面2与2’），限制为与一阶约束通过泊松/狄拉克括号对易的函数。
• 引入一种新颖的坐标无关多张量微积分，以区分配置空间、相空间与时空结构，确保代数表述的清晰性。
• 通过哈密顿约束的对易子公式化重叶层不变性，表明其源于广义相对论狄拉克代数丛的第三个方程（56），该方程编码了结构函数。
• 使用TRiFol形式（叶层形式的时间关系性）在保持时间关系性兼容性的同时，实现叶层不变的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过经典场论方法分别解决时间问题的九个新经典方面，如约束闭包、可观测量赋值与时空构造？
• RQ2 狄拉克与李算法在系统性解决这些方面中扮演何种角色，特别是在广义相对论约束代数的语境下？
• RQ3 坐标无关的多张量微积分如何实现对配置空间、相空间与时空中背景独立性方面的统一处理？
• RQ4 狄拉克代数丛的结构，特别是其使用结构函数的方式，如何在广义相对论中编码重叶层不变性？
• RQ5 可观测量代数超结构与约束代数子结构如何构成对偶有界格？其对物理定律具有何种意义？

主要发现

• 通过狄拉克算法解决约束闭包，揭示约束是否不一致或不完整；成功闭包将产生一阶约束的李代数结构。
• 通过将函数空间限制为与约束泊松/狄拉克括号对易的函数，解决可观测量问题，形成可观测量代数超结构，其与约束子结构格对偶。
• 通过“时空构造计划”实现从空间结构重建时空，从而在经典层面上解决时空重建问题。
• 重叶层不变性被证明是广义相对论狄拉克代数丛第三个方程（56）的直接结果，该方程确保沿不同叶层演化可得等价物理结果。
• 狄拉克代数丛的结构函数——不同于结构常数——编码了叶层化时空的巨大自由度，代数丛结构 |$\mathfrak{D}\text{irac}(\Sigma) = \text{Diff}(\mathfrak{M}, \text{Fol}) \gg \text{Diff}(\mathfrak{m})$| 捕获了观察者无关的动力学。
• 源自李工作的流方法为可观测量对易条件提供系统性偏微分方程解法，其适用范围超越了文献[52]中的先前处理。