[论文解读] A machine learning accelerated FE$^2$ homogenization algorithm for elastic solids

Saumik Dana, Mary F. Wheeler|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Composite Material Mechanics参考文献 28被引用 15

一句话总结

该论文提出了一种基于机器学习加速的FE²均质化框架，用于弹性固体，通过用训练好的神经网络替代实时RVE有限元求解，将宏观变形梯度映射到均质化第一Piola-Kirchhoff应力。该方法通过施加周期性边界条件和数据驱动的RVE响应预测，在将FE²转化为有效FE¹算法的同时，保持了精度，显著降低了计算成本。

ABSTRACT

The FE$^2$ homogenization algorithm for multiscale modeling iterates between the macroscale and the microscale (represented by a representative volume element) till convergence is achieved at every increment of macroscale loading. The information exchange between the two scales occurs at the gauss points of the macroscale finite element discretization. The microscale problem is also solved using finite elements on-the-fly thus rendering the algorithm computationally expensive for complex microstructures. We invoke machine learning to establish the input-output causality of the RVE boundary value problem using a neural network framework. This renders the RVE as a blackbox which gets the information from the macroscale as an input and gives information back to the macroscale as output, thereby eliminating the need for on-the-fly finite element solves at the RVE level. This framework has the potential to significantly accelerate the FE$^2$ algorithm.

研究动机与目标

• 为降低传统FE²均质化的高计算成本，该方法避免在每个宏观高斯积分点处重复进行实时RVE有限元求解。
• 开发一种基于神经网络的数据驱动代理模型，以捕捉RVE边界值问题的输入-输出关系。
• 通过在RVE上施加周期性边界条件，保持与Hill-Mandel条件的一致性，确保能量等价性。
• 通过消除迭代RVE求解，显著提升多尺度模拟速度，将FE²有效转化为FE¹框架。
• 在具有对称微观结构特征的2D RVE上验证该框架，以确保与标准均质化实践的兼容性。

提出的方法

• 训练一个1-3-1前馈神经网络，将宏观变形梯度作为输入，输出为均质化第一Piola-Kirchhoff应力。
• 对RVE进行有限元离散化，并在数据收集阶段通过传统FE²求解生成大量变形梯度-应力对数据集。
• 在RVE上施加周期性边界条件，以满足Hill-Mandel条件，确保尺度间的能量等价性。
• 使用反向传播算法和Sigmoid等激活函数训练神经网络，以模拟非线性应力响应。
• 训练完成的网络替代FE²循环中的RVE求解器，实现在每个宏观高斯积分点直接预测均质化应力。
• 该框架在保持宏观有限元离散化的同时，加速了微观响应计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 机器学习代理模型能否准确替代FE²均质化中对实时RVE有限元求解？
• RQ2 使用神经网络在不牺牲精度的前提下，如何影响FE²算法的计算效率？
• RQ3 周期性边界条件对RVE响应神经网络代理模型的训练和泛化能力有何影响？
• RQ4 通过消除迭代RVE求解，该框架能否有效简化为类似FE¹的算法？
• RQ5 该数据驱动的RVE模型在不同变形梯度和微观结构构型下的泛化能力如何？

主要发现

• 所提出的机器学习加速FE²框架消除了对实时RVE有限元求解的需求，显著降低了计算成本。
• 神经网络代理模型能从变形梯度准确预测均质化第一Piola-Kirchhoff应力，与原始FE²解保持高度一致。
• 通过施加周期性边界条件，该框架保持了能量一致性，并满足了跨尺度的Hill-Mandel条件。
• 该方法有效将FE²算法转化为类似FE¹的框架，因为模拟过程中仅需进行宏观有限元求解。
• 该方法实现了复杂微观结构的可扩展多尺度建模，这些结构此前因计算负担过重而难以实现。
• 该框架可推广至具有对称特征的2D RVE，有利于周期性边界条件的实施和数据高效训练。