[论文解读] A model structure on internal categories in simplicial sets

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 14

一句话总结

本文在单纯集中的内范畴上建立了模型结构，表明弱等价在向双单纯集的内蕴函子下被保持并反映，且该模型结构在完全塞加空间模型结构下呈现了∞-范畴的同伦理论。主要结果是该模型结构呈现了∞-范畴的同伦理论，并与完全塞加空间模型范畴处于奎伦等价关系，其应用包括内预层和单纯范畴。

ABSTRACT

We put a model structure on the category of categories internal to simplicial sets whose weak equivalences are reflected by the nerve functor to bisimplicial sets with Rezk's model structure. This model structure is shown to be Quillen equivalent to Rezk's model structure, thus internal category are another model for $(\infty,1)$-categories.

研究动机与目标

• 在单纯集中的内范畴范畴上定义一个模型结构，以对∞-范畴的同伦理论进行建模。
• 证明从内范畴到双单纯集的内蕴函子在完全塞加空间模型结构下保持并反映弱等价。
• 将理论扩展至内范畴上的内预层，构建一个奎伦等价的模型结构。
• 证明从单纯范畴到内范畴的包含函子在相关∞-范畴上诱导出一个等价关系。

提出的方法

• 通过内蕴函子将双单纯集上的投影模型结构（完全塞加空间）转移至内范畴。
• 将内范畴中的弱等价定义为在内蕴函子作用下变为雷茨等价的映射。
• 通过关键的技术引理验证提升性质，证明内范畴上模型结构的存在性。
• 在固定内范畴上的内预层上构造投影模型结构，推广单纯预层在单纯范畴上的投影模型结构。
• 证明内范畴之间的弱等价诱导出其内预层范畴之间的奎伦等价。
• 使用伯格纳关于相对范畴和奎伦等价的框架，证明从单纯范畴到内范畴的内蕴函子在∞-范畴层面上诱导出一个等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 单纯集中的内范畴范畴是否具有一个模型结构，能呈现∞-范畴的同伦理论？
• RQ2 内范畴模型结构中的弱等价是否正是那些在内蕴函子作用下变为雷茨等价的映射？
• RQ3 内范畴上内预层的模型结构是否推广了单纯范畴上单纯预层的投影模型结构？
• RQ4 内范畴之间的弱等价是否诱导出其内预层范畴之间的奎伦等价？
• RQ5 从单纯范畴到内范畴的包含函子在∞-范畴层面上是否为奎伦等价？

主要发现

• 单纯集中的内范畴范畴具有一个模型结构，其弱等价正是那些在内蕴函子作用下变为雷茨等价的映射。
• 该模型结构与完全塞加空间模型范畴奎伦等价，确立其作为∞-范畴同伦理论的有效模型。
• 已构建内范畴上内预层的模型结构，并证明其具有同伦不变性：内范畴之间的弱等价诱导出预层范畴之间的奎伦等价。
• 从单纯范畴到内范畴的内蕴函子保持弱等价，并在相关∞-范畴上诱导出一个等价关系。
• 单纯范畴到内范畴的包含函子不是奎伦函子，但其在相对范畴上诱导出一个弱等价，表明两种模型在∞-范畴层面上是等价的。
• 该证明依赖于将完全塞加空间上的投影模型结构进行转移，并使用一个关于提升性质的关键技术引理来建立内范畴上的模型结构。