[论文解读] A New Approach to Generalised Uncertainty Relations

Matthew J. Lake|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2020

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 64被引用 5

一句话总结

本文通过引入时空几何的量子自由度，而非修改对易关系，提出了一种广义不确定性关系的新方法。通过将空间背景视为具有其自身态矢量的量子物体，该模型自然导出扩展的广义不确定性原理（EGUP），而不会违反等效原理或引入速度依赖的最小长度，同时表明空间在不同于物质的尺度上被量子化，且几何量子为费米子。

ABSTRACT

We outline a new model in which generalised uncertainty relations are obtained without modified commutation relations. While existing models introduce modified phase space volumes for the canonical degrees of freedom, we introduce new degrees of freedom for the background geometry. The phase space is therefore enlarged but remains Euclidean. The spatial background is treated as a genuinely quantum object, with an associated state vector, and the model naturally gives rise to the extended generalised uncertainty principle (EGUP). Importantly, this approach solves (or rather, evades) well known problems associated with modified commutators, including violation of the equivalence principle, the `soccer ball' problem for multiparticle states, and the velocity dependence of the minimum length. However, it implies two radical conclusions. The first is that space must be quantised on a different scale to matter and the second is that the fundamental quanta of geometry are fermions. We explain how, in the context of the model, these do not contradict established results including the no go theorems for multiple quantisation constants, which still hold for species of material particles, and the spin-$2$ nature of gravitons.

研究动机与目标

• 解决修改对易关系模型中长期存在的问题，例如违反等效原理和‘足球’问题。
• 构建一个保持相空间欧几里得结构的同时融入量子几何的广义不确定性关系框架。
• 从本质上量子化的背景几何出发，而非通过修改正则对易关系，推导出扩展的广义不确定性原理（EGUP）。
• 在不依赖非正则相空间结构的前提下，解决量子引力现象学中最小长度尺度的问题。
• 探讨本质上量子化的时空对空间、物质以及基本量子化尺度本质的影响。

提出的方法

• 为背景几何引入新的量子自由度，将时空视为具有其自身态矢量的真正量子物体。
• 在保持其欧几里得结构的同时，扩大相空间以包含几何自由度。
• 通过使用模糊化的空间背景推导广义的位置与动量不确定性，从而导出扩展的GUP（EGUP）。
• 将形式化方法应用于角动量与自旋，表明其与量子参考系理论及量子代数结构的一致性。
• 采用一种非局域、非对易的几何模型，其中空间点通过高斯模糊函数 $ g({f x' - x}) $ 实现非定域化，参数 $ \beta $ 与普朗克尺度相关。
• 以一种避免多重量子化常数的方式构建理论，同时与已知结果（如引力子的自旋-2性质）保持一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不修改位置与动量之间正则对易关系的前提下，推导广义不确定性关系？
• RQ2 将时空几何视为具有其自身态矢量的量子物体，其物理与数学后果是什么？
• RQ3 能否从本质上量子化的背景几何出发，推导出扩展的广义不确定性原理（EGUP），同时保持等效原理等关键对称性？
• RQ4 为何该模型暗示空间在不同于物质的尺度上被量子化？这如何避免与多重量子化常数的无解定理相矛盾？
• RQ5 几何量子的费米子性质如何与有效场论中引力子的已知自旋-2特性相协调？

主要发现

• 该模型通过为空间背景引入量子自由度，无需修改正则对易关系，成功推导出扩展的广义不确定性原理（EGUP）。
• 相空间保持欧几里得结构，且该模型避免了修改对易关系方法中常见的‘足球’问题与速度依赖的最小长度问题。
• 该模型暗示空间在不同于物质的尺度上被量子化，且几何的基本量子为费米子。
• 该理论通过确保此类常数仅适用于物质粒子而非几何自由度，从而规避了多重量子化常数的无解定理。
• 几何量子的费米子性质与泡利不相容原理一致，可能通过简并压稳定空间的非定域化。
• 与普朗克尺度相关的参数 $ \beta $ 与观测到的真空能量密度 $ \rho_\Lambda $ 相关联，暗示其与宇宙学存在现象学联系。