[论文解读] A new family of maximum scattered linear sets in $\mathrm{PG}(1,q^6)$

Daniele Bartoli, Corrado Zanella+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文通过特定的 $ q $-多项式 $ f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5} $，在 $ \mathrm{PG}(1,q^6) $ 中引入了一类新的最大分散 $ \mathbb{F}_q $-线性集，其条件为：当 $ q $ 为奇数时，$ h^{q^3+1} = -1 $。该构造产生了新的最大分散线性集，并通过 Sheekey 的对应关系，得到了新的 $ \mathbb{F}_q $-线性 MRD 码，参数为 $ (6,6,q;5) $，这些码与此前所有已知码均不等价，除非在 $ q $ 为 5 的幂且 $ h \in \mathbb{F}_q $ 的特殊情况下。该结果解决了 2019 年关于此类线性集顶点性质的一个开放问题。

ABSTRACT

We generalize the example of linear set presented by the last two authors in "Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$" (2019) to a more general family, proving that such linear sets are maximum scattered when $q$ is odd and, apart from a special case, they are are new. This solves an open problem posed in "Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$" (2019). As a consequence of Sheekey's results in "A new family of linear maximum rank distance codes" (2016), this family yields to new MRD-codes with parameters $(6,6,q;5)$.

研究动机与目标

• 将 $ \mathrm{PG}(1,q^n) $ 中已知的最大分散线性集示例推广至 $ n=6 $ 的更广大家族。
• 证明在奇数 $ q $ 条件下，除特殊情况外，新线性集家族为最大分散。
• 解决 [27] 中提出的关于此类线性集新颖性的开放问题。
• 确立所关联的 MRD 码与所有此前已知码不等价，除非处于特定情况。
• 通过 Sheekey 构造，扩展分散线性集与 MRD 码之间的联系。

提出的方法

• 作者在 $ \mathbb{F}_{q^6} $ 上定义了一个参数化于 $ h \in \mathbb{F}_{q^6} $ 的 $ q $-多项式 $ f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5} $，且满足 $ h^{q^3+1} = -1 $。
• 他们应用定理 2.1，将 $ f_h(x) $ 的分散性简化为检查由修改后的 Dickson 矩阵导出的两个行列式无公共根。
• 证明过程采用分类讨论：首先考虑 $ h \in \mathbb{F}_q $ 的情形（这意味着 $ q \equiv 1 \pmod{4} $），然后考虑 $ h \notin \mathbb{F}_q $ 的情形，其中要求 $ h \neq \pm \sqrt{-1} $ 以避免 $ h \in \mathbb{F}_{q^2} $。
• 作者利用域论论证和迹形式的性质，证明行列式条件成立，从而确认了分散性。
• 他们证明了与 $ f_h(x) $ 关联的线性集 $ \mathcal{L}_h $ 不与 $ \mathrm{PG}(1,q^6) $ 中任何已知的分散线性集 $ \mathrm{P}\Gamma\mathrm{L} $-等价，除非 $ h \in \mathbb{F}_{q^2} $。
• 通过 Sheekey 的对应关系，线性集 $ \mathcal{L}_h $ 生成了一个参数为 $ (6,6,q;5) $ 的 $ \mathbb{F}_q $-线性 MRD 码，且其左理想化子同构于 $ \mathbb{F}_{q^6} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有满足 $ h^{q^3+1} = -1 $ 的奇数 $ q $，新家族的 $ q $-多项式 $ f_h(x) $ 是否均为分散的？
• RQ2 与 $ f_h(x) $ 关联的线性集 $ \mathcal{L}_h $ 是否为新的，即在 $ \mathrm{P}\Gamma\mathrm{L} $-等价意义下，除了 $ q $ 为 5 的幂且 $ h \in \mathbb{F}_q $ 的情况外？
• RQ3 从 $ \mathcal{L}_h $ 衍生出的 MRD 码是否产生新的码，且不与任何此前已知的参数为 $ (6,6,q;5) $ 的 $ \mathbb{F}_q $-线性 MRD 码等价？
• RQ4 当 $ h \notin \mathbb{F}_{q^2} $ 时，线性集 $ \mathcal{L}_h $ 是否能由一个三项式定义？
• RQ5 $ f_h(x) $ 的构造是否为 [27] 中示例的推广？是否解决了关于最大分散线性集顶点性质的开放问题？

主要发现

• 通过修改后的 Dickson 矩阵的行列式条件，已证明 $ q $-多项式 $ f_h(x) = h^{q-1}x^q - h^{q^2-1}x^{q^2} + x^{q^4} + x^{q^5} $ 在所有奇数 $ q $ 及满足 $ h^{q^3+1} = -1 $ 的 $ h \in \mathbb{F}_{q^6} $ 下均为分散的。
• 与 $ f_h(x) $ 关联的线性集 $ \mathcal{L}_h $ 在 $ \mathrm{PG}(1,q^6) $ 中为最大分散，且不与任何此前已知的分散线性集 $ \mathrm{P}\Gamma\mathrm{L} $-等价，除非 $ h \in \mathbb{F}_q $ 且 $ q $ 为 5 的幂。
• 该构造解决了 [27] 中关于此类线性集新颖性的开放问题，确认 $ \mathcal{L}_h $ 除例外情况外均为新线性集。
• 由 $ \mathcal{L}_h $ 衍生出的 MRD 码 $ \mathcal{C}_{f_h} $ 具有参数 $ (6,6,q;5) $，其左理想化子同构于 $ \mathbb{F}_{q^6} $，且不与任何此前已知的参数为 $ (6,6,q;5) $ 的 $ \mathbb{F}_q $-线性 MRD 码等价，除非 $ h \in \mathbb{F}_q $ 且 $ q $ 为 5 的幂。
• 当 $ h \in \mathbb{F}_{q^2} $ 时，线性集 $ \mathcal{L}_h $ 与 [23, 第 7 节] 中已知的家族等价；但当 $ h \notin \mathbb{F}_{q^2} $ 时，其位于所有此前已知家族之外。
• 本文通过提供新的分散线性集示例，扩展了 [21, 表 1]，这些示例可能推广 [10] 中的家族，但尚不清楚 $ \mathcal{L}_h $ 是否能由一个三项式定义。