[论文解读] A new truncated $M$-fractional derivative unifying some fractional derivatives with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文提出了一种新的截断$M$-分数阶导数，记为$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$，该导数将四种现有的分数阶导数类型——常规导数、交替导数、广义交替导数和$M$-分数阶导数——统一到一个单一框架中，同时保持经典微积分的性质。该方法可解析求解$M$-分数阶热方程，并通过图形验证。

ABSTRACT

We introduce a truncated $M$-fractional derivative type for $\alpha$-differentiable functions that generalizes four other fractional derivatives types recently introduced by Khalil et al., Katugampola and Sousa et al., the so-called conformable fractional derivative, alternative fractional derivative, generalized alternative fractional derivative and $M$-fractional derivative, respectively. We denote this new differential operator by $_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order of the derivative is such that $ 0 0$ and $ M $ is the notation to designate that the function to be derived involves the truncated Mittag-Leffler function with one parameter. The definition of this truncated $M$-fractional derivative type satisfies the properties of the integer-order calculus. We also present, the respective fractional integral from which emerges, as a natural consequence, the result, which can be interpreted as an inverse property. Finally, we obtain the analytical solution of the $M$-fractional heat equation and present a graphical analysis.

研究动机与目标

• 将四种现有的分数阶导数类型——常规导数、交替导数、广义交替导数和$M$-分数阶导数——统一到一个单一且连贯的框架中。
• 定义一个新的微分算子$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$，该算子推广了这些导数，同时保持经典微积分性质，如乘积法则和链式法则。
• 建立一个对应的分数阶积分，作为其逆运算，确保与经典微积分的一致性。
• 通过解析求解$M$-分数阶热方程并提供图形分析，展示新导数的适用性。

提出的方法

• 所提出的算子$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$针对$\alpha$-可微函数定义，使用具有一个参数的截断Mittag-Leffler函数，其中$M$表示该特殊函数的参与。
• 该导数被构造为在单一公式下推广常规导数、交替导数、广义交替导数和$M$-分数阶导数。
• 该方法确保新导数满足经典微积分性质，包括线性性、乘积法则和链式法则。
• 推导出一个对应的分数阶积分，其满足逆性质：在适当条件下，先应用导数后应用积分可恢复原函数。
• 利用新导数，通过截断Mittag-Leffler函数的积分表示和性质，获得$M$-分数阶热方程的解析解。
• 进行图形分析以可视化解的行为，说明在不同参数下$M$-分数阶热方程的动力学特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个单一的分数阶导数算子，将常规导数、交替导数、广义交替导数和$M$-分数阶导数统一起来，同时保持经典微积分法则？
• RQ2 所提出的截断$M$-分数阶导数是否满足线性性、乘积法则和链式法则等基本微积分性质？
• RQ3 与新导数对应的分数阶积分是什么？它如何实现对原函数的恢复？
• RQ4 新导数能否应用于求解偏微分方程，如$M$-分数阶热方程，并通过解析和图形验证？
• RQ5 $M$-分数阶热方程的解在不同参数值下如何表现？图形分析提供了哪些见解？

主要发现

• 所提出的截断$M$-分数阶导数$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$成功地将四种现有的分数阶导数类型统一为一个单一且连贯的算子。
• 新导数保持了经典微积分性质，包括线性性、乘积法则和链式法则，确保与标准微分学的一致性。
• 推导出一个满足逆性质的对应分数阶积分，可在微分后恢复原函数。
• 利用新导数获得了$M$-分数阶热方程的解析解，展示了其实际适用性。
• 对解的图形分析揭示了分数阶阶数$\alpha$和参数$\beta$对解轮廓的影响，显示出平滑的过渡和衰减行为。