[论文解读] A non-LEA Sofic Group

Aditi Kar, Nikolay Nikolov|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文构造了首个已知的、有限生成的双曲群（sofic group）但不是LEA（局部嵌入到可约群中）的例子，证明了在无限循环子群上进行自由并置的群类不封闭于双曲群。作者证明了并置自由积 $ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $，其中 $ Z $ 是由一个幂等矩阵生成的无限循环子群，是双曲的但不是剩余可约的，因此不是LEA，通过证明其不包含共可约的LEA子群。

ABSTRACT

We describe elementary examples of finitely presented sofic groups which are not residually amenable (and thus not initially subamenable or LEA, for short). We ask if an amalgam of two amenable groups over a finite subgroup is residually amenable and answer this positively for some special cases, including countable locally finite groups, residually nilpotent groups and others.

研究动机与目标

• 构造有限生成的双曲群但不是剩余可约（因此不是LEA）的显式例子。
• 研究在有限子群上进行自由并置是否保持剩余可约性。
• 确定当 $ A $ 和 $ B $ 是剩余可约且 $ C $ 是有限时，$ A \ast_C B $ 是剩余可约的条件。
• 澄清共可约性、LEA子群与双曲群中并置自由积结构之间的关系。

提出的方法

• 构造群 $ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $，其中 $ Z $ 是由一个幂等矩阵生成的无限循环子群。
• 利用先前工作中建立的关于在可约子群上并置自由积的双曲性，确认 $ G $ 是双曲的。
• 假设反证法：$ G $ 存在一个共可约的LEA子群 $ H $，并分析 $ G $ 在陪集空间 $ X = G/H $ 上的作用，通过一个 $ G $-不变测度。
• 利用 $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ 的性质 (T) 证明：在 $ X $ 中任意通用点的稳定子群在每个因子中必须具有有限指数，从而在到可约群的同态下导致矛盾。
• 利用可除子群 $ Y_i \cong \mathbb{Z}[1/p] $ 的结构及其与 $ H $ 的交集，构造元素 $ \beta_1, \beta_2 \in H $，它们在任意可约群中的像必须相等，尽管在 $ H $ 中彼此不同，从而违反部分单同态的存在性。
• 应用导出列和投影拓扑的结果，建立特殊情形下的剩余可约性，例如当 $ C $ 与 $ A $ 和 $ B $ 的下中心列项不相交时。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个有限生成的双曲群但不是LEA？
• RQ2 剩余可约群类在有限子群上进行自由并置时是否仍然封闭？
• RQ3 如果一个双曲群包含 $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ 的副本（$ n \geq 3 $），且具有共可约的LEA子群，这样的群是否存在？
• RQ4 当 $ A $ 和 $ B $ 是剩余可约且 $ C $ 是有限时，$ A \ast_C B $ 在什么条件下是剩余可约的？
• RQ5 具有有界顶点群的有限群图的基本群是否是虚拟自由群？

主要发现

• 群 $ G = \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) \ast_Z \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ 是双曲的，这由关于在可约子群上并置双曲群的自由积的定理保证。
• 群 $ G $ 不是LEA，因为它不包含共可约的LEA子群。
• 任何 $ G $ 的共可约子群必须在每个因子 $ \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p]) $ 中与之交于有限指数子群。
• 在任意同态到可约群中，元素 $ \beta_1 = f_1(y(a/p)) $ 和 $ \beta_2 = f_2(y(a/p)) $ 的像必须相等，尽管在 $ G $ 中 $ \beta_1 \neq \beta_2 $，这与存在到可约群的部分单同态矛盾。
• 当 $ C $ 是有限且与 $ A $ 和 $ B $ 的下中心列项不相交时，并置自由积 $ A \ast_C B $ 是剩余可约的，如推论8所示。
• 当 $ C $ 在 $ A $ 和 $ B $ 的投影拓扑中是豪斯多夫的时，合并群 $ A \ast_C B $ 是剩余可约的，如定理7所确立。