[论文解读] A pathwise approach to continuous-time trading

Candia Riga|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文提出了一种路径相关的、模型无关的连续时间交易框架，以非预测性泛函微积分取代随机积分，从而实现对收益和对冲误差的严格、逐样本路径的定义。核心贡献在于提出了一条路径相关的自融资条件，并将经典对冲复制推广为显式量化任意价格路径下对冲误差的公式，且无需概率假设。

ABSTRACT

This paper develops a mathematical framework for the analysis of continuous-time trading strategies which, in contrast to the classical setting of continuous-time mathematical finance, does not rely on stochastic integrals or other probabilistic notions. Our purely analytic framework allows for the derivation of a pathwise self-financial condition for continuous-time trading strategies, which is consistent with the classical definition in case a probability model is introduced. Our first proposition provides us with a pathwise definition of the gain process for a large class of continuous-time, path-dependent, self-finacing trading strategies, including the important class of 'delta-hedging' strategies, and is based on the recently developed 'non-anticipative functional calculus'. Two versions of the statement involve respectively continuous and càdlàg price paths. The second proposition is a pathwise replication result that generalizes the ones obtained in the classical framework of diffusion models. Moreover, it gives an explicit and purely pathwise formula for the hedging error of delta-hedging strategies for path-dependent derivatives across a given set of scenarios. We also provide an economic justification of our main assumption on price paths.

研究动机与目标

• 开发一种无需依赖随机积分和概率测度的模型无关连续时间交易数学框架。
• 为自融资、路径相关交易策略（包括对冲）提供收益过程的路径相关定义。
• 通过推导对冲误差的显式、纯路径相关公式，推广经典复制结果，适用于对冲策略的任意价格路径。
• 通过基于市场有效性与无套利的经济论证，证明价格路径假设的合理性。
• 通过展示在引入概率测度时，路径相关分析与随机积分框架的一致性，实现与经典结果的统一。

提出的方法

• 采用Dupire和Cont-Fournié的非预测性泛函微积分，定义价格路径泛函的积分。
• 利用Föllmer的路径相关伊藤公式和Norvaiša的左柯西λ-积分，将收益定义为非预测性黎曼和的极限。
• 通过涉及路径相关二次变差和跳跃修正项的变量变换公式定义收益过程。
• 应用Vovk的上价格概念和典型路径，将价格路径的正则性条件解释为具有经济意义。
• 通过要求收益过程在所有样本路径上保持一致（无需数学期望），推导出路径相关的自融资条件。
• 在密集、嵌套、耗尽的划分序列下，证明路径相关二次变差与经典二次变差的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖随机积分或概率测度的前提下，定义连续时间交易的收益？
• RQ2 策略的路径相关自融资条件是什么？它与经典随机定义有何关系？
• RQ3 能否推导出一个适用于所有价格路径的、通用的对冲误差公式，而不仅限于特定概率模型？
• RQ4 何种经济或市场依据可支持价格路径具有有限路径相关二次变差的假设？
• RQ5 该框架中的路径相关结果如何与扩散模型中的经典结果保持一致？

主要发现

• 推导出一条与经典定义一致的路径相关自融资条件，当引入概率测度时成立。
• 利用非预测性泛函微积分，为一大类路径相关、自融资策略（包括对冲）定义了路径相关的收益过程。
• 推导出对冲策略对冲误差的显式、路径相关公式，仅依赖于实际观测到的价格路径及其二次变差。
• 通过将有限路径相关二次变差的假设与博弈论、模型无关设定下的无套利性联系起来，为其提供了经济合理性解释。
• 在密集、嵌套、耗尽的划分序列下，路径相关二次变差与Föllmer及Norvaiša的定义一致，确保与现有路径相关微积分的一致性。
• 通过提供适用于任意连续或右连左极价格路径的路径相关、模型无关的对冲误差公式，推广了经典复制结果。