[论文解读] Toda Theories, Matrix Models, Topological Strings, and N=2 Gauge Systems

Robbert Dijkgraaf, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Sep 13, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用 212

一句话总结

本文通过证明在黎曼曲面上的 $A_{n-1}$ 奇点上的拓扑弦分割函数由 $A_{n-1}$ Toda 二维共形场论的左手块所描述，建立了 $ olimits=2$ $SU(n)$ 规范理论的弦理论推导。利用大 $N$ 对偶性和矩阵模型全息，它将希加瓦-温伯格曲线识别为类似彭纳的矩阵模型的谱曲线，其中内卡罗夫形变映射为 $eta$-系综和 Toda 理论中的通用背景电荷。

ABSTRACT

We consider the topological string partition function, including the Nekrasov deformation, for type IIB geometries with an A_{n-1} singularity over a Riemann surface. These models realize the N=2 SU(n) superconformal gauge systems recently studied by Gaiotto and collaborators. Employing large N dualities we show why the partition function of topological strings in these backgrounds is captured by the chiral blocks of A_{n-1} Toda systems and derive the dictionary recently proposed by Alday, Gaiotto and Tachikawa. For the case of genus zero Riemann surfaces, we show how these systems can also be realized by Penner-like matrix models with logarithmic potentials. The Seiberg-Witten curve can be understood as the spectral curve of these matrix models which arises holographically at large N. In this context the Nekrasov deformation maps to the beta-ensemble of generalized matrix models, that in turn maps to the Toda system with general background charge. We also point out the notion of a double holography for this system, when both n and N are large.

研究动机与目标

• 使用拓扑弦理论和大 $N$ 对偶性解释 $ olimits=2$ $SU(n)$ 规范理论的 AGT 对应关系。
• 证明在 $A_{n-1}$-奇点几何上，拓扑弦分割函数计算出 $A_{n-1}$ Toda 共形场论的左手块。
• 通过大 $N$ 时类似彭纳的矩阵模型的谱曲线，全息地实现希加瓦-温伯格几何。
• 将内卡罗夫形变映射为矩阵模型中的 $eta$-系综，并将其与 Toda 理论中的通用背景电荷联系起来。
• 在 $n$ 和 $N$ 均很大的极限下探索双重全息结构。

提出的方法

• 利用拓扑弦与在 brane 上的规范理论之间的大 $N$ 对偶性，将闭弦振幅与开弦不变量联系起来。
• 使用镜像卡拉比-丘几何上的 B 模型拓扑弦计算预势和高亏格振幅。
• 将 $ olimits=2$ 规范理论映射为 $N$ 个 M5 brane 包含一个黎曼曲面的系统，其中几何结构编码了希加瓦-温伯格曲线。
• 通过具有对数势的类似彭纳的矩阵模型实现拓扑弦分割函数，适用于亏格为零的黎曼曲面。
• 在大 $N$ 极限下，将矩阵模型的谱曲线识别为希加瓦-温伯格曲线。
• 将内卡罗夫形变 $ olimits_1, olimits_2$ 映射为矩阵模型中的 $eta$-系综参数和 Toda 理论中的背景电荷 $Q$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $A_{n-1}$-奇点卡拉比-丘几何上的拓扑弦分割函数如何与 $A_{n-1}$ Toda 共形场论的左手块相关联？
• RQ2 在与拓扑弦对偶的矩阵模型的大 $N$ 极限中，希加瓦-温伯格曲线起什么作用？
• RQ3 内卡罗夫形变如何从矩阵模型的 $eta$-系综表述中出现？
• RQ4 AGT 对应关系能否从拓扑弦理论中的几何转变推导出来？
• RQ5 当规范群的秩 $n$ 和 brane 数 $N$ 均很大时，双重全息的本质是什么？

主要发现

• 在具有黎曼曲面基的 $A_{n-1}$-奇点几何上的拓扑弦分割函数等价于 $A_{n-1}$ Toda CFT 的左手块。
• 对于亏格为零的黎曼曲面，分割函数由具有对数势的类似彭纳的矩阵模型捕获，其谱曲线即为希加瓦-温伯格曲线。
• 内卡罗夫形变 $ olimits_1, olimits_2$ 映射为矩阵模型中的 $eta$-系综参数，后者又对应于 Toda 理论中的背景电荷 $Q$。
• 亏格为零的自由能 $ olimits_0$ 由谱曲线决定，而更高亏格振幅 $ olimits_g$ 由于 Toda 应力张量在 $ olimits \to -\nolimits$ 下的非不变性，接收奇数次幂的 $g_s$。
• 该系统表现出双重全息：一是矩阵模型的大 $N$ 极限，二是 $A_{n-1}$ 奇点的大 $n$ 极限，对应于 $A_\infty$ quiver 矩阵模型。
• 该联系可延伸至顶点算符的相关函数，其形式为 $\langle \prod_i V_m(q_i) \rangle_N$，并在大 $N$ 极限下通过矩阵模型计算。