[论文解读] A positive proportion of cubic curves over Q admit linear determinantal representations

Yasuhiro Ishitsuka|Kyushu University Institutional Repository (QIR) (Kyushu University)|Dec 16, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文利用大域和雅可比簇的性质，证明了在 ℚ 上，正比例的光滑平面三次曲线具有线性行列式表示。此外，在假设 Bhargava–Kane–Lenstra–Poonen–Rains 猜想成立的前提下，进一步表明正比例的此类曲线在局部-整体原理上失败，揭示了除有理点之外的算术障碍。

ABSTRACT

Can a smooth plane cubic be defined by the determinant of a square matrix with entries in linear forms in three variables? If we can, we say that it admits a linear determinantal representation. In this paper, we investigate linear determinantal representations of smooth plane cubics over various fields, and prove that any smooth plane cubic over a large field (or an ample field) admits a linear determinantal representation. Since local fields are large, any smooth plane cubic over a local field always admits a linear determinantal representation. As an application, we prove that a positive proportion of smooth plane cubics over Q, ordered by height, admit linear determinantal representations. We also prove that, if the conjecture of Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains on the distribution of Selmer groups is true, a positive proportion of smooth plane cubics over Q fail the local-global principle for the existence of linear determinantal representations.

研究动机与目标

• 确定按高度排序时，ℚ 上光滑平面三次曲线中具有线性行列式表示的比例。
• 研究此类表示在 ℚ 上的存在性是否在局部-整体原理下失效。
• 将线性行列式表示的存在性与雅可比簇的 Mordell–Weil 秩联系起来。
• 将大域和 Brauer 群的结果应用于行列式表示情境下的算术障碍。

提出的方法

• 利用大（丰满）域理论，证明任意此类域上的光滑平面三次曲线均具有线性行列式表示。
• 将雅可比簇的 Mordell–Weil 秩作为关键不变量，用于判断 ℚ 上行列式表示的存在性。
• 基于高度对平面三次曲线进行计数，并通过 Bhargava–Kane–Lenstra–Poonen–Rains 猜想将其与 Selmer 群的分布联系起来。
• 利用 Brauer 群计算与 Galois 上同调，检测行列式表示的障碍。
• 应用 Bhargava–Skinner–Zhang 关于椭圆曲线秩的结果，推导出 Mordell–Weil 秩为正或平凡的曲线比例的下界。
• 通过短正合列 (4.1) 将线丛和行列式表示的几何条件转化为上同调准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 当按高度排序时，ℚ 上光滑平面三次曲线中具有线性行列式表示的比例是多少？
• RQ2 是否存在 ℚ 上的光滑平面三次曲线，其在所有完备化 ℚ_v 上均具有此类表示，但在 ℚ 本身上却不具有？
• RQ3 雅可比簇的 Mordell–Weil 秩如何与 ℚ 上线性行列式表示的存在性相关？
• RQ4 相对 Brauer 群在阻碍线性行列式表示中起什么作用？
• RQ5 局部条件（在 ℚ_v 上）在多大程度上能保证行列式表示的存在性，以及在何种情况下它们会在整体上失效？

主要发现

• 通过雅可比簇上 Mordell–Weil 秩为 1 的曲线的存在性，证明了 ℚ 上正比例的光滑平面三次曲线具有 ℚ 上的线性行列式表示。
• 基于 Bhargava–Skinner–Zhang 的下界估计，至少 20.68% 的 ℚ 上椭圆曲线具有 ℚ 上的线性行列式表示。
• 至少 16.50% 的 ℚ 上椭圆曲线在局部-整体原理上失败于线性行列式表示。
• 若 Bhargava–Kane–Lenstra–Poonen–Rains 猜想成立，则 ℚ 上正比例的光滑平面三次曲线在局部-整体原理上失败于此类表示。
• 存在无穷多个非同构的 ℚ 上光滑平面三次曲线，其 Mordell–Weil 群非平凡且相对 Brauer 群非平凡，但不具有 ℚ 上的线性行列式表示。
• 此类表示的存在性受到 Brauer 群中非平凡元素的阻碍，如通过具有分歧除法代数的显式例子所展示。