[论文解读] A predicted distribution for Galois groups of maximal unramified extensions

Yuan Liu, Melanie Matchett Wood+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文提出了一种在普罗菲尼特群上定义的新概率分布，用于建模在 $\mathbb{F}_q(t)$ 上的全实 $\Gamma$-扩张的极大无分支扩张的伽罗瓦群，利用数论性质（如性质 E）和普罗菲尼特群构造。证明了当 $q \to \infty$ 时，这些伽罗瓦群的矩与预测分布一致，为在排除单位根的情形下函数域设定中的 Cohen–Lenstra–Martinet 猜测提供了有力证据。

ABSTRACT

We consider the distribution of the Galois groups $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un}}/K)$ of maximal unramified extensions as $K$ ranges over $Γ$-extensions of $\mathbb{Q}$ or $\mathbb{F}_q(t)$. We prove two properties of $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un}}/K)$ coming from number theory, which we use as motivation to build a probability distribution on profinite groups with these properties. In Part I, we build such a distribution as a limit of distributions on $n$-generated profinite groups. In Part II, we prove as $q ightarrow\infty$, agreement of $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un}}/K)$ as $K$ varies over totally real $Γ$-extensions of $\mathbb{F}_q(t)$ with our distribution from Part I, in the moments that are relatively prime to $q(q-1)|Γ|$. In particular, we prove for every finite group $Γ$, in the $q ightarrow\infty$ limit, the prime-to-$q(q-1)|Γ|$-moments of the distribution of class groups of totally real $Γ$-extensions of $\mathbb{F}_q(t)$ agree with the prediction of the Cohen--Lenstra--Martinet heuristics.

研究动机与目标

• 构建一个在普罗菲尼特群上的概率分布，以捕捉 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un},2|\Gamma|^\prime}/K)$ 的预期结构，其中 $K$ 是 $\mathbb{F}_q(t)$ 上的全实 $\Gamma$-扩张。
• 识别出数论性质——特别是性质 E——以刻画此设定下极大无分支扩张的伽罗瓦群。
• 证明这些伽罗瓦群分布的矩（限制在与 $q(q-1)|\Gamma|$ 互素的阶上）与所提出的随机群分布的矩一致。
• 提供证据表明，当基域中不包含单位根且按分歧素数的乘积排序时，Cohen–Lenstra–Martinet 猜测在函数域设定中是正确的。

提出的方法

• 构造自由的可允许 $\Gamma$-群 $\mathcal{F}_n$，其在 $n$ 个生成元上生成，作为随机群模型的基础对象。
• 将性质 E 定义为对非分裂中心扩张的提升性质，其中 $\Gamma$-作用在 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上是平凡的，并证明它刻画了 $\mathcal{F}_n$ 关于特定子群的商群。
• 定义随机群 $X_{\Gamma,n} := \mathcal{F}_n / \langle r^{-1}\gamma(r) \mid r \in S, \gamma \in \Gamma \rangle$，其中 $S \subset \mathcal{F}_n$ 为随机子集，从而在普罗菲尼特群上形成一个概率测度。
• 利用类域论和施乌尔覆盖的结构，通过函数 $b(G,c,q,n)$ 将类群的分布与随机群的矩联系起来。
• 建立一个交换图表，涉及从 $\mathbb{Z}^{c/G}$ 到 $G^{\operatorname{ab}}$ 的映射的核以及函数 $W^{i}_{q^{-1}}$，以确保同构群之间 $q^{-1}$-次根的一致性。
• 证明对于在相容施乌尔覆盖下的同构对，有 $b(G_1,c_1,q,n) = b(G_2,c_2,q,n)$，从而保证矩计数在同构类下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个在普罗菲尼特群上的概率分布，以反映 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un},2|\Gamma|^\prime}/K)$ 在 $\mathbb{F}_q(t)$ 上全实 $\Gamma$-扩张下的数论性质？
• RQ2 当 $q \to \infty$ 时，$\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un},2|\Gamma|^\prime}/K)$ 的分布是否与所提出的随机群模型的矩一致？
• RQ3 在此设定下，矩与 Cohen–Lenstra–Martinet 猜测的一致性在多大程度上验证了该猜测在基域中不包含单位根时的正确性？
• RQ4 伽罗瓦群的矩在同构下如何表现？哪些不变量控制其分布？
• RQ5 相容施乌尔覆盖在确保同构群之间矩计数保持不变方面起到了什么作用？

主要发现

• 本文通过商群 $X_{\Gamma,n} := \mathcal{F}_n / \langle r^{-1}\gamma(r) \mid r \in S, \gamma \in \Gamma \rangle$ 构造了一个明确定义的概率分布，证明其为有效的随机群。
• 伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un},2|\Gamma|^\prime}/K)$ 满足性质 E，该性质将其刻画为 $\mathcal{F}_n$ 关于由 $r^{-1}\gamma(r)$ 生成的特定子群的商群。
• 当 $q \to \infty$ 时，$\mathbb{F}_q(t)$ 上全实 $\Gamma$-扩张的 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un},2|\Gamma|^\prime}/K)$ 的 $q$-进矩与所提出的随机群分布的矩一致。
• 该一致性对所有与 $q(q-1)|\Gamma|$ 互素的矩均成立，确认了在函数域设定下分布与预测行为的一致性。
• 证明表明，对于在相容施乌尔覆盖下的同构群对，有 $b(G_1,c_1,q,n) = b(G_2,c_2,q,n)$，从而保证了矩计数的不变性。
• 结果为 Cohen–Lenstra–Martinet 猜测在函数域设定中是正确的提供了有力证据，当基域中不包含单位根且按分歧素数乘积排序时。