[论文解读] A Proof of the Conjecture of Lehmer and of the Conjecture of Schinzel-Zassenhaus

Jean-Louis Verger-Gaugry|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 313被引用 3

一句话总结

本文利用动力 zeta 函数、Parrish 上函数以及极点的 Poincaré 渐近展开，证明了关于非分圆代数整数的 Mahler 度量下界的 Lehmer 和 Schinzel-Zassenhaus 猜想。建立了 Mahler 度量的连续透镜型下界，并证明了 Mahler 度量的下确界被 Perron 数 $\theta^{-1}_{31} \approx 1.08545$ 从下方控制，该数是方程 $z^{31} - z^{30} - 1$ 的主根，且证明了随着动力次数增加，Galois 轨道的测度向单位圆周均匀分布。

ABSTRACT

The conjecture of Lehmer is proved to be true. The proof mainly relies upon: (i) the properties of the Parry Upper functions $f_{house(α)}(z)$ associated with the dynamical zeta functions $ζ_{house(α)}(z)$ of the Rényi--Parry arithmetical dynamical systems, for $α$ an algebraic integer $α$ of house "$house(α)$" greater than 1, (ii) the discovery of lenticuli of poles of $ζ_{house(α)}(z)$ which uniformly equidistribute at the limit on a limit "lenticular" arc of the unit circle, when $house(α)$ tends to $1^+$, giving rise to a continuous lenticular minorant ${ m M}_{r}(house(α))$ of the Mahler measure ${ m M}(α)$, (iii) the Poincaré asymptotic expansions of these poles and of this minorant ${ m M}_{r}(house(α))$ as a function of the dynamical degree. With the same arguments the conjecture of Schinzel-Zassenhaus is proved to be true. An inequality improving those of Dobrowolski and Voutier ones is obtained. The set of Salem numbers is shown to be bounded from below by the Perron number $θ_{31}^{-1} = 1.08545\ldots$, dominant root of the trinomial $-1 - z^{30} + z^{31}$. Whether Lehmer's number is the smallest Salem number remains open. A lower bound for the Weil height of nonzero totally real algebraic numbers, $ eq \pm 1$, is obtained (Bogomolov property). For sequences of algebraic integers of Mahler measure smaller than the smallest Pisot number, whose houses have a dynamical degree tending to infinity, the Galois orbit measures of conjugates are proved to converge towards the Haar measure on $|z|=1$ (limit equidistribution).

研究动机与目标

• 通过证明非分圆代数整数的 Mahler 度量存在一个普遍的正下界，解决 Lehmer 猜想。
• 通过推导出不等于 $\pm1$ 的全实代数数的 Weil 高度的统一下界，确立 Schinzel-Zassenhaus 猜想。
• 证明 Salem 数集被 Perron 数 $\theta^{-1}_{31} \approx 1.08545$ 从下方控制，该数是三系数多项式 $z^{31} - z^{30} - 1$ 的主根。
• 证明当动力次数趋于无穷时，Mahler 度量小于最小 Pisot 数的代数整数的共轭元的 Galois 轨道测度弱收敛于单位圆周 $|z| = 1$ 上的 Haar 测度。

提出的方法

• 引入动力次数 $\text{dyg}(\beta)$ 作为 $\beta > 1$ 的整值函数，通过三系数多项式 $G_n(z) = -1 + z + z^n$ 的根 $\theta^{-1}_n$ 所界定的区间定义，当 $\beta \to 1^+$ 时该函数递增。
• 分析 Rényi-Parry 动力 zeta 函数 $\zeta_\alpha(z)$ 的极点，识别出在单位圆周上极限弧上均匀分布的透镜状极点簇，当 $\alpha \to 1^+$ 时成立。
• 对极点以及 Mahler 度量 $M(\alpha)$ 的下界 $M_r(\alpha)$ 应用 Poincaré 渐近展开，将其表示为动力次数 $\text{dyg}(\alpha)$ 的函数。
• 利用与 $\zeta_\alpha(z)$ 关联的 Parrish 上函数 $f_\alpha(z)$，推导出一个连续下界 $M_r(\alpha)$，该下界一致地从下方控制 $M(\alpha)$。
• 对三系数多项式 $G_n(z)$ 的根 $z_{j,n}$ 应用过渡区域分析，根据 $\text{arg}(z) \asymp \frac{2\pi \log n}{n}$ 和 $\text{arg}(z) \asymp \frac{2\pi \sqrt{=\log n \log \log n}}{n}$ 将复平面划分为角扇区，通过序列 $u_n, v_n$ 实现精确的渐近控制。
• 通过动力次数 $\text{dyg}(\alpha) := \text{dyg}(|\alpha|)$ 将实数 $\beta > 1$ 的结果推广至模 $|\alpha| > 1$ 的复数 $\alpha$，从而将复数情形约化为实数情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在任意非分圆代数整数的 Mahler 度量的普遍正下界？
• RQ2 Salem 数集是否有正的下界？若有，其下确界为何？
• RQ3 当动力次数趋于无穷时，Mahler 度量较小的代数整数的共轭元的 Galois 轨道测度是否在单位圆周上均匀分布？
• RQ4 当 $\alpha \to 1^+$ 时，Rényi-Parry zeta 函数 $\zeta_\alpha(z)$ 的极点的精确渐近行为如何？
• RQ5 当 $n \to \infty$ 时，三系数多项式 $G_n(z) = -1 + z + z^n$ 的根在复平面上的角分布如何？

主要发现

• Lehmer 猜想被证明为真，对所有非分圆代数整数 $\alpha$，有 $M(\alpha) \geq 1 + c$，其中 $c > 0$ 为可有效计算的常数。
• Schinzel-Zassenhaus 猜想被证明为真，为不等于 $\pm1$ 的非零全实代数数的 Weil 高度提供了新的下界，优于 Dobrowolski 和 Voutier 的结果。
• 目前已知最小的 Salem 数被 $\theta^{-1}_{31} \approx 1.08545$ 从下方控制，该数是三系数多项式 $z^{31} - z^{30} - 1$ 的主根，且该值被猜想为 Salem 数集的下确界。
• 对于 Mahler 度量小于最小 Pisot 数且动力次数趋于无穷的代数整数序列，其共轭元的 Galois 轨道测度弱收敛于单位圆周 $|z| = 1$ 上的归一化 Haar 测度。
• Mahler 度量 $M(\alpha)$ 的下界 $M_r(\alpha)$ 被证明是连续且透镜型的，其来源于当 $\alpha \to 1^+$ 时 $\zeta_\alpha(z)$ 的极点在单位圆周上极限弧上的均匀分布。
• 推导出 $\beta > 1$ 且接近 1 时动力次数 $\text{dyg}(\beta)$ 的渐近展开式为 $\text{dyg}(\beta) = -\frac{\log(\beta - 1)}{\beta - 1} \left(1 + O\left(\left(\frac{=\log(-\log(\beta - 1))}{\log(\beta - 1)}\right)^2\right)\right)$，并给出了 $\beta$ 在区间 $[\theta^{-1}_n, \theta^{-1}_{n-1})$ 内的显式次数界。