[论文解读] A quantization of the Hitchin hamiltonian system and the Beilinson-Drinfeld isomorphism

Ken‐ichi Sugiyama|ArXiv.org|Aug 22, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文将贝利森-德鲁金对Hitchin系统的量子化推广至光滑射影曲线 $X$ 上具有重极结构（D-平坦）的主 $SL_2(\mathbb{C})$-丛。它在 $\Omega^{\otimes 2}(D)$ 的整体截面与此类丛的模堆栈上的扭曲微分算子之间构造了一个同构，通过其上的正则 holonomic D-模建立了几何的、有ramification的非交换类域论，这些D-模被猜想为Hecke特征层。

ABSTRACT

We will study the Hitchin's hamiltonian system for a modular stack of principal SL_2(C) bundle on a smooth projective curve which has a parabolic reduction at certain points. As an application we will obtain a generalization of the Beilinson-Drinfeld isomorphism, which is a quantization of the Hitchin's hamiltonian system.

研究动机与目标

• 将贝利森-德鲁金同构推广至 $SL_2(\mathbb{C})$-丛在标记点处具有抛物约化时的有ramification局部系统情形。
• 在具有 $D$-旗的 $SL_2(\mathbb{C})$-丛模堆栈的余切丛上构造Hitchin系统的量子化。
• 通过 $H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D))$ 中的元素建立几何的、有ramification的非交换类域论，将正则 holonomic D-模与之对应。

提出的方法

• 定义 $SL_2(\mathbb{C})$-丛在 $N$ 个标记点 $z_1, \dots, z_N$ 处具有 $D$-旗的模堆栈 $\mathrm{Bun}_{G,X}^{D\text{-}fl}$。
• 对 $\lambda \in \mathbb{Z}^N$，在 $\mathrm{Bun}_{G,X}^{D\text{-}fl}$ 上构造一个扭曲微分算子层 $\mathcal{D}'_{D\text{-}fl,\lambda}$。
• 证明同构 $\Gamma(H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D)), \mathcal{O}) \simeq D'_{D\text{-}fl,\lambda}$，推广了贝利森-德鲁金同构。
• 使用局部化函子 $\Delta_{D\text{-}fl}$ 将 $\hat{\mathfrak{g}}_N$ 的表示与 $\mathrm{Bun}_{G,X}^{D\text{-}fl}$ 上的D-模相关联。
• 定义 $\lambda$-可接受性与 $\Omega^{\otimes 2}(2D)$ 的整体截面，以通过中心特征作用参数化D-模。
• 证明所得D-模为正则且非零，当且仅当截面同时为整体截面且 $\lambda$-可接受。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝利森-德鲁金同构能否推广至具有抛物结构的 $SL_2(\mathbb{C})$-丛的有ramification局部系统情形？
• RQ2 在具有 $D$-旗的 $SL_2(\mathbb{C})$-丛模堆栈上是否存在一个Hitchin系统的量子化，以扩展经典Hitchin可积系统？
• RQ3 通过推广同构构造的D-模是否构成如猜想所示的Hecke特征层结构？

主要发现

• 本文建立了 $\mathbb{C}$-代数同构 $\Gamma(H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D)), \mathcal{O}) \simeq D'_{D\text{-}fl,\lambda}$，证明了贝利森-德鲁金同构的非交换推广。
• 与 $q \in H^0(X, \Omega^{\otimes 2}(D))$ 关联的D-模 $\mathcal{M}_q$ 为正则，如定理5.3所示。
• 局部化函子 $\Delta_{D\text{-}fl}$ 将 $\lambda$-可接受且整体的 $q$-数据映射为非零D-模，如定理6.1所述。
• $\mathcal{D}'_{D\text{-}fl,\lambda} \otimes_{\otimes \Gamma(H^0(D_i, \Omega^{\otimes 2}(2\mathbb{O})), \mathcal{O})} \mathbb{C}$ 同构于 $\Delta_{D\text{-}fl}(M_{-2,\lambda}^q)$，确认了构造的一致性。
• 将 $\mathcal{M}_q$ 与 $q$ 关联的对应关系定义了一个广义的贝利森-德鲁金对应，将几何类域论推广至有ramification情形。
• 该构造为研究有ramification情形下的Hecke特征层提供了框架，猜想这些D-模为正则正则且为Hecke特征层。