[论文解读] A Quantum Algorithm for Finding $k$-Minima

Kohei Miyamoto, Masakazu Iwamura+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种简化的量子算法，用于在大小为 $N$ 的数据集中查找 $k$ 个最小值，其查询复杂度为 $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$，与先前的工作结果一致，但设计更为简洁。该算法利用广义幅值放大和基于阈值的搜索策略，分两个阶段高效识别出 $k$ 个最小元素：首先通过量子计数和最小值查找估算一个近似最优阈值，然后利用幅值放大提取所有 $k$ 个低于该阈值的索引。

ABSTRACT

We propose a new finding $k$-minima algorithm and prove that its query complexity is $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$, where $N$ is the number of data indices. Though the complexity is equivalent to that of an existing method, the proposed is simpler. The main idea of the proposed algorithm is to search a good threshold that is near the $k$-th smallest data. Then, by using the generalization of amplitude amplification, all $k$ data are found out of order and the query complexity is $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$. This generalization of amplitude amplification is also not well discussed and we briefly prove the query complexity. Our algorithm can be directly adapted to distance-related problems like $k$-nearest neighbor search and clustering and classification. There are few quantum algorithms that return multiple answers and they are not well discussed.

研究动机与目标

• 开发一种更简单且更优雅的量子算法，用于在大小为 $N$ 的数据集中查找 $k$ 个最小元素。
• 降低先前针对图应用设计的量子 $k$-最小值算法的复杂度和概念负担。
• 明确区分门复杂度 $\mathcal{O}_g$ 和查询复杂度 $\mathcal{O}_q$，以实现更清晰的算法分析。
• 将幅值放大推广至在 $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$ 次查询内高效检索所有 $k$ 个标记索引。
• 使该方法可直接应用于基于距离的问题，如 $k$-最近邻搜索、聚类和量子机器学习中的分类。

提出的方法

• 该算法使用量子最小值查找（FM）算法，按值的降序生成候选阈值索引序列。
• 对每个候选阈值应用量子计数（QC），以估算小于该阈值的元素数量，从而在最后 $k$ 个阈值上执行二分查找。
• 在 $k$ 个候选阈值上执行二分查找，以确定一个阈值 $t_{k'}$，使得恰好 $k'$ 个元素小于 $g(t_{k'})$，且 $k' \geq k$，从而确保 $k$-最小值被包含在内。
• 使用一个阈值预言机 $f'_{t_k}(x)$ 标记小于 $g(t_{k'})$ 且尚未被找到的元素，对广义幅值放大过程进行应用。
• 最终阶段通过反复应用广义幅值放大，以 $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$ 的查询复杂度检索出所有低于阈值的 $k$ 个索引。
• 总查询复杂度为 $\mathcal{O}(\sqrt{N}\log k) + \mathcal{O}(\sqrt{kN}) = \mathcal{O}(\sqrt{kN})$，其中第二项占主导地位。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种更简单的量子算法，在不依赖复杂图专用设计的前提下，实现与现有方法相同的 $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$ 查询复杂度来查找 $k$-最小值？
• RQ2 如何将幅值放大推广，以在单次运行中高效检索多个标记项（即 $k$ 个索引）？
• RQ3 量子计数在实现 $k$-最小值搜索中高效阈值选择方面起到什么作用？
• RQ4 所提出的方法能否直接适配到实际的量子机器学习任务中，如 $k$-最近邻搜索和聚类？
• RQ5 将门复杂度 $\mathcal{O}_g$ 与查询复杂度 $\mathcal{O}_q$ 分开处理，如何提升量子算法分析和比较的清晰度？

主要发现

• 所提出的算法实现了 $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$ 的查询复杂度，与最佳已知结果一致，但设计更简单且模块化更强。
• 阈值选择阶段使用量子计数和在 $k$ 个候选阈值上的二分查找，导致 $\mathcal{O}(\sqrt{N}\log k)$ 的查询复杂度。
• 广义幅值放大过程成功地在 $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$ 次查询内检索出所有低于阈值的 $k$ 个索引。
• 该算法可直接应用于量子机器学习中的 $k$-最近邻搜索、聚类和分类任务。
• 作者对广义幅值放大技术进行了形式化处理，并证明了其 $\mathcal{O}(\sqrt{kN})$ 的查询复杂度。
• 该方法明确区分了门复杂度 $\mathcal{O}_g$ 和查询复杂度 $\mathcal{O}_q$，从而实现了更精确的算法分析与比较。