[论文解读] A recurrence relation for the Li/Keiper constants in terms of the Stieltjes constants

Donal F. Connon|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文推导出一个将Li/Keiper常数与Stieltjes常数联系起来的递推关系，为这些重要的数论常数提供了新的计算路径。此外，本文还建立了一个公式，通过黎曼ζ函数的高阶导数来表达Stieltjes常数，并将其与以η常数为参数的指数完全Bell多项式联系起来，从而增强了分析数论中的分析与计算工具。

ABSTRACT

A recurrence relation for the Li/Keiper constants in terms of the Stieltjes constants is derived in this paper. In addition, we also report a formula for the Stieltjes constants in terms of the higher derivatives of the Riemann zeta function. A formula for the Stieltjes constants in terms of the (exponential) complete Bell polynomials containing the eta constants as the arguments is also derived.

研究动机与目标

• 建立Li/Keiper常数与Stieltjes常数之间的递推关系。
• 推导出Stieltjes常数用黎曼ζ函数高阶导数表示的表达式。
• 利用以η常数为输入的指数完全Bell多项式来表达Stieltjes常数。
• 为研究黎曼ζ函数非平凡零点的分布提供新的分析工具。

提出的方法

• 通过涉及ζ函数的级数展开，推导出将Li/Keiper常数与Stieltjes常数联系起来的递推关系。
• 利用积分表示和生成函数，将Stieltjes常数与黎曼ζ函数的高阶导数联系起来。
• 应用完全Bell多项式理论，将Stieltjes常数表示为η常数的函数。
• 采用渐近分析与级数分析技术，验证所推导关系在解析数论背景下的有效性。
• 利用黎曼ζ函数及其在s=1处的洛朗级数展开的已知性质，推导出这些常数之间的联系。
• 通过级数与特殊函数恒等式的形式运算，验证所推导的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过递推关系系统地关联Li/Keiper常数与Stieltjes常数？
• RQ2 Stieltjes常数与黎曼ζ函数高阶导数之间的确切联系是什么？
• RQ3 能否以η常数为参数，用指数完全Bell多项式表达Stieltjes常数？
• RQ4 Li/Keiper常数与Stieltjes常数之间的关系背后存在何种分析结构？
• RQ5 这些新公式如何提升Stieltjes常数的计算或理解？

主要发现

• 建立了将Li/Keiper常数表示为Stieltjes常数函数的递推关系，从而实现递归计算。
• 证明了Stieltjes常数可表示为黎曼ζ函数在s=1处高阶导数的函数。
• 推导出一个使用以η常数为参数的指数完全Bell多项式的Stieltjes常数的闭式表达式。
• 所推导的公式为计算Stieltjes常数提供了新框架，潜在提升数值稳定性和效率。
• 通过级数与特殊函数理论的形式推导，揭示了常数之间相互依赖关系的更深层次结构。
• 研究结果扩展了用于研究黎曼ζ函数在极点附近行为的分析工具集。