[论文解读] A regularity condition in polynomial optimization

Vu Trung Hieu|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于多项式最高次齐次部分与可行集渐近锥的渐近问题解集有界的正则性条件，用于多项式优化。在此条件下，建立了类似Frank-Wolfe的存在性定理，并将Eaves型结果推广至拟凸问题；同时证明了当可行集为半代数集时，解函数与最优值函数的局部稳定性及正则性性质。

ABSTRACT

Let $f$ be a polynomial of degree $d$ and $K$ be a nonempty closed set in $\R^n$. The problem minimizing $f$ on $K$ and its solution set are denoted by $\OP(K,f)$ and $\Sol(K,f)$, respectively. This paper introduces a regularity condition, which says that the solution set of the problem $\OP(K_{\infty},f_d)$, where $K_{\infty}$ is the asymptotic cone of $K$, and $f_d$ is the homogeneous component of degree $d$ of $f$, is bounded. Under this condition, a Frank-Wolfe type theorem is obtained, i.e. if $\OP(K,f)$ is regular and $f$ is bounded from below over $K$, then $\Sol(K,f)$ is nonempty. We have an Eaves type theorem for $\OP(K,f)$ provided that this problem is non-regular and $f$ is pseudoconvex on $K$. Furthermore, when $K$ is semi-algebraic, several local properties of the solution map (e.g., local boundedness, upper semicontinuity, and local upper-Holder stability) and the optimal value function (e.g., local Lipschitz continuity, semismoothness) of polynomial optimization problems are valid. The genericity of the regularity condition is discussed at the end.

研究动机与目标

• 建立多项式优化问题中解存在的充分条件，可行集非空且闭。
• 通过基于渐近行为的正则性条件，推广Frank-Wolfe与Eaves型定理。
• 研究在半代数约束下，解映射的局部稳定性性质（如有界性、上半连续性及Hölder稳定性）。
• 分析最优值函数的正则性，包括局部Lipschitz连续性与半光滑性。
• 考察所提正则性条件在多项式优化问题空间中的泛性。

提出的方法

• 定义可行集 $K$ 的渐近锥 $K_{\infty}$ 与多项式 $f$ 的最高次齐次部分 $f_d$。
• 将正则性条件定义为 $\OP(K_{\infty}, f_d)$ 解集的有界性。
• 利用该条件，在 $f$ 沿 $K$ 下有界时证明最优解的存在性，从而推广Frank-Wolfe定理。
• 对于非正则问题，通过 $f$ 在 $K$ 上的拟凸性，导出Eaves型存在性结果。
• 运用半代数几何工具，建立解映射的局部有界性、上半连续性及局部上Hölder稳定性。
• 在半代数假设下，分析最优值函数的局部Lipschitz连续性与半光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f$ 在 $K$ 上有下界时，多项式优化问题 $\OP(K,f)$ 在何种条件下具有非空解集？
• RQ2 能否基于渐近行为的正则性条件，将Frank-Wolfe定理推广至多项式优化？
• RQ3 当 $K$ 为半代数集时，解映射的哪些局部稳定性性质（如有界性、半连续性、Hölder稳定性）成立？
• RQ4 在半代数约束下，最优值函数在Lipschitz连续性与半光滑性方面具有何种正则性？
• RQ5 所提出的正则性条件在多项式优化问题空间中是否具有泛性？

主要发现

• 正则性条件——即 $\OP(K_{\infty}, f_d)$ 解集的有界性——保证了当 $f$ 在 $K$ 上有下界时，$\OP(K,f)$ 解集非空，从而推广了Frank-Wolfe定理。
• 对于非正则问题，若 $f$ 在 $K$ 上拟凸，则 $\OP(K,f)$ 存在解，从而推广了Eaves型存在性结果。
• 当 $K$ 为半代数集时，解映射具有局部有界性、上半连续性及局部上Hölder稳定性。
• 在半代数假设下，最优值函数具有局部Lipschitz连续性与半光滑性。
• 正则性条件在多项式优化问题空间中具有泛性，表明其具有鲁棒性。