[论文解读] A remark on constant scalar curvature Kähler metrics on minimal models

Wangjian Jian, Yalong Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过证明对于任意凯勒类 $[\omega]$，在足够小的 $\delta > 0$ 下，凯勒类 $[K_X] + \delta[\omega]$ 中存在唯一的常数量曲率凯勒（cscK）度量，从而建立了具有半正则 canonical bundle 的紧致凯勒流形上常数量曲率凯勒（cscK）度量的存在性。证明依赖于 Mabuchi K-能量的正则性以及 Chen-Cheng 和 Weinkove 的判据，将结果扩展至非一般型情形下的极小模型，并支持了关于凯勒类退化时 cscK 度量在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛至典范模型上的扭曲凯勒-爱因斯坦度量的猜想。

ABSTRACT

In this short note, we prove the existence of constant scalar curvature Kähler metrics on compact Kähler manifolds with semi-ample canonical bundles.

研究动机与目标

• 建立具有半正则 canonical bundle 的紧致凯勒流形上常数量曲率凯勒（cscK）度量的存在性。
• 将已知的 cscK 度量结果扩展至一般型以外的情形，特别是在极小模型和极小模型程序的背景下。
• 提供一个几何框架，通过凯勒类的退化，将 cscK 度量与典范模型上的扭曲凯勒-爱因斯坦度量联系起来。
• 支持并推广关于 cscK 度量在凯勒类退化时，于 Gromov-Hausdorff 拓扑与光滑拓扑下收敛至典范度量的猜想。
• 研究在非一般型情形下凯勒-Ricci 流的行为，特别是其收敛至典范度量的性质。

提出的方法

• 利用 Weinkove、Song-Weinkove 和 Li-Shi-Yao 开发的 Mabuchi K-能量正则性准则，以确保 cscK 度量的存在性。
• 应用 Chen-Cheng 关于在凯勒类 $[K_X] + \delta[\omega]$ 中通过变分方法存在 cscK 度量的结果，其中 $\delta > 0$ 足够小。
• 构造一族凯勒形式 $\chi_\delta = \eta + \delta\omega$，其中 $\eta \in [K_X]$ 是由于 $K_X$ 的半正则性而存在的非负光滑 $(1,1)$-形式。
• 利用标量曲率系数 $c_\delta = \frac{[K_X]\cdot[\chi_\delta]^{n-1}}{[\chi_\delta]^n}$ 的渐近展开，证明 $c_\delta = \frac{\kappa}{n} + O(\delta)$，其中 $\kappa = \textnormal{Kod}(X)$。
• 验证对于足够小的 $\delta$，正则性条件 $ (nc_\delta + \varepsilon)\chi_\delta^{n-1} - (n-1)\eta \wedge \chi_\delta^{n-2} > 0 $ 成立，从而确保 cscK 条件满足。
• 利用 $\alpha_X([K_X] + \delta[\omega]) \geq \alpha_X([K_X] + [\omega]) > 0$ 对于 $0 < \delta < 1$ 成立的事实，借助 $K_X$ 的半正则性来控制凯勒类的形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $K_X$ 半正则时，对于足够小的 $\delta > 0$，凯勒类 $[K_X] + \delta[\omega]$ 中是否存在唯一的常数量曲率凯勒度量？
• RQ2 当 $\delta \to 0$ 时，极小模型上的 cscK 度量是否在 Gromov-Hausdorff 拓扑与光滑拓扑下（在奇异纤维之外）收敛至典范模型上的扭曲凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ3 在具有 nef canonical bundle 的极小模型上，归一化的凯勒-Ricci 流是否在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛至典范度量，且标量曲率收敛至 $-\textnormal{Kod}(X)$？
• RQ4 cscK 度量的存在性如何推广至卡鲁扎-丘或负 canonical bundle 流形的纤维化情形，特别是基为曲线的情形？
• RQ5 定理 1.1 中 $K_X$ 的半正则性假设在多大程度上成立？在丰沛猜想下，该假设能否被弱化为 nef 性？

主要发现

• 对于任意具有半正则 canonical bundle $K_X$ 的紧致凯勒流形 $X$ 以及任意凯勒类 $[\omega]$，存在 $\delta_{X,[\omega]} > 0$，使得对所有 $0 < \delta < \delta_{X,[\omega]}$，在凯勒类 $[K_X] + \delta[\omega]$ 中存在唯一的 cscK 度量。
• 标量曲率系数 $c_\delta$ 满足 $c_\delta = \frac{\kappa}{n} + O(\delta)$，其中 $\kappa = \textnormal{Kod}(X)$，确保了度量族的正确渐近行为。
• 正则性条件 $ (nc_\delta + \varepsilon)\chi_\delta^{n-1} - (n-1)\eta \wedge \chi_\delta^{n-2} > 0 $ 对于足够小的 $\delta$ 成立，这通过 Chen-Cheng 的准则足以保证 cscK 度量的存在性。
• 当 $\kappa = 0$ 时，结果退化为丘成桐对卡拉比猜想的解，因为 $K_X$ 是挠率，且 cscK 度量为里奇平坦。
• 定理 1.2 建立了在 $[L] + \delta[K_X]$ 类中 cscK 度量的存在性，适用于基为黎曼曲面的纤维化，其中 $L$ 在基上是 ample 的，将 Fine 的结果推广至奇异纤维和低亏格基的情形。
• 本文支持猜想 1.1，即当 $\delta \to 0$ 时，$[K_X] + \delta[\omega]$ 中的 cscK 度量在 Gromov-Hausdorff 拓扑与光滑拓扑下（在奇异纤维之外）收敛至典范模型 $X_{\text{can}}$ 上的扭曲凯勒-爱因斯坦度量。