[论文解读] A Riesz-Haviland type result for truncated moment problems with solutions in $L^1$

Călin-Grigore Ambrozie|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文建立了关于在 $L^1(T, dt)$ 中具有表示密度的截断矩问题的 Riesz-Haviland 类型刻画，表明此类密度存在当且仅当关联的 Riesz泛函在紧致闭集 $T$ 上的非负多项式上严格正。关键贡献在于，在支持满足正则性条件时，识别出矩锥的稠密内部即为在 $L^1$-密度表示测度下可实现的数据集合。

ABSTRACT

We give a version of the Riesz-Haviland theorem for truncated moments problems, characterizing the existence of the representing measures that are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. The existence of such representing densities describes the dense interior of the convex cone of all data having nonnegative Borel representing measures. A natural regularity assumption on the support is required.

研究动机与目标

• 刻画截断矩问题中关于勒贝格测度绝对连续的表示测度的存在性。
• 确定在正则闭集 $T\subset\mathbb{R}^n$ 上，非负 $L^1$ 密度的矩满足截断矩问题解的条件。
• 表明存在 $L^1$-密度解的矩序列集合，构成所有具有非负博雷尔表示测度的矩序列锥的稠密内部。
• 提供一种独立于 Curto 和 Fialkow 结果的刻画，仅依赖于泛函分析工具和经典的 Riesz-Haviland 定理。

提出的方法

• 为闭集 $T\subset\mathbb{R}^n$ 引入正则性概念，要求在 $T$ 中每一点的每个邻域内具有正的勒贝格测度，以确保拓扑与测度论的正则性。
• 定义一个在坐标逐项 0-1 组合下封闭的正则指标集 $I\subset\mathbb{Z}_+^n$，以保证与矩泛函的兼容性。
• 以 Riesz-Haviland 定理为基础，通过分析 Riesz 泛函 $\varphi_g$ 在 $T$ 上非负多项式上的严格正性，将其推广至截断情形。
• 应用 Hahn-Banach 和 Krein-Mazur 类型论证，以保持严格正性的方式扩展泛函，从而实现全局正泛函的构造。
• 证明：对所有非零 $p\in P_I$ 满足 $p(t)\geq 0$ 于 $T$，有 $\varphi_g p > 0$，意味着局部一致正性，从而在矩空间中存在 $g$ 的一个邻域，使得该条件仍成立。
• 利用紧致性与对偶性，证明严格正性蕴含在非负多项式锥上存在下界 $\varphi_g p \geq c\|p\|$，从而实现向完整矩序列的迭代扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则闭集 $T\subset\mathbb{R}^n$ 下，截断矩序列在什么条件下 admits 一个 $L^1(T, dt)$ 中的表示密度？
• RQ2 如何通过关联 Riesz 泛函的正性性质来刻画 $L^1$-密度解的存在性？
• RQ3 在所有非负博雷尔表示测度的更大锥中，具有 $L^1$-密度解的矩序列集合的拓扑结构是什么？
• RQ4 能否独立于 Curto-Fialkow 截断矩问题扩展定理，推导出 $L^1$-密度解的刻画？

主要发现

• 截断矩序列 $g=(g_i)_{i\in I}$ 当且仅当关联的 Riesz 泛函 $\varphi_g$ 满足对所有非零多项式 $p\in P_I$ 且对所有 $t\in T$ 有 $p(t)\geq 0$，均有 $\varphi_g p > 0$ 时，存在表示密度 $f\in L^1_+(T, dt)$。
• 具有 $L^1$-密度解的矩序列集合，是所有具有非负博雷尔表示测度的矩序列锥的稠密内部。
• 对所有 $T$ 上非负非零 $p$ 满足 $\varphi_g p > 0$ 的严格正性条件，等价于在 $P_I$ 中非负多项式单位球上存在下界 $\varphi_g p \geq c\|p\|$。
• 证明构造了 $\varphi_g$ 在更高次多项式空间上的正扩展序列，最终得到 $\mathbb{R}[X_1,\dots,X_n]$ 上满足 Riesz-Haviland 准则的正线性泛函。
• 此类泛函的存在性保证了在 $T$ 上存在一个非负博雷尔测度 $\nu$，其矩与 $g$ 匹配，且由严格正性和 $L^1$-正则性，$\nu$ 关于勒贝格测度绝对连续。
• 该结果在 $T$ 为正则集的假设下成立，即 $T$ 中每一点均为勒贝格密度点，确保在每个邻域内支持具有正测度。