[论文解读] A sm\"org {a}sbord of scalar-flat K\"ahler ALE surfaces

Michael T. Lock, Jeff Viaclovsky|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用 3

一句话总结

该论文针对任意非循环有限子群 Γ⊂U(2)（不含复反射）构造了 ℂ²/Γ 的极小化解的标量曲率为零的凯勒 ALE 度量，通过全纯圆作用与形变技术证明了其存在性。关键结果表明，对所有此类 Γ（包括非 SU(2) 群），此类度量均存在，且当且仅当 Γ⊂SU(2) 时为超凯勒度量。

ABSTRACT

There are many known examples of scalar-flat K\\"ahler ALE surfaces, all of which have group at infinity either cyclic or contained in ${\ m{SU}}(2)$. The main result in this paper shows that for any non-cyclic finite subgroup $\\Gamma \\subset {\ m{U}}(2)$ containing no complex reflections, there exist scalar-flat K\\"ahler ALE metrics on the minimal resolution of $\\mathbb{C}^2 / \\Gamma$, for which $\\Gamma$ occurs as the group at infinity. Furthermore, we show that these metrics admit a holomorphic isometric circle action. It is also shown that there exist scalar-flat K\\"ahler ALE metrics with respect to some small deformations of complex structure of the minimal resolution. Lastly, we show the existence of extremal K\\"ahler metrics admitting holomorphic isometric circle actions in certain K\\"ahler classes on the complex analytic compactifications of the minimal resolutions.

研究动机与目标

• 将标量曲率为零的凯勒 ALE 度量的存在性结果从循环群和 SU(2) 型群推广至 U(2) 的所有非循环有限子群（不含复反射）。
• 在 ℂ²/Γ 的极小化解上建立此类度量的存在性，其中 Γ 为无穷远处的群。
• 证明这些度量具有全纯等距圆作用，将几何结构与对称性联系起来。
• 证明在极小化解的复结构的小形变下此类度量依然存在。
• 证明在极小化解的复解析紧化上存在具有全 holomorphic 圆作用的极值凯勒度量。

提出的方法

• 利用第 5.1 节的标量曲率为零的凯勒粘合定理，通过将多重 Eguchi-Hanson 度量粘合到商空间上构造度量。
• 应用定理 8.5（关于自对偶轨道丛连通和）将标量曲率为零的反自对偶 ALE 度量的共形紧化进行粘合。
• 在正 Yamabe 不变量的紧化轨道点处进行共形爆破，以生成标量曲率为零的反自对偶 ALE 度量。
• 在引理 8.1 中使用 eta 不变量 η(S³/Γ) 和 b₂⁻(X̃) 来检验里奇平坦性，并在 Γ⊂SU(2) 时得出其为超凯勒结构的结论。
• 分析例外除数为一条中心曲线（自交数为 −bΓ）与三条 Hirzebruch-Jung 链连接而成的树状结构。
• 依赖 Brieskorn 对商奇点的分类，以及 Γ 与解析图 ⟨−bΓ; (α₁,β₁); (α₂,β₂); (α₃,β₃)⟩ 之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有不含复反射的非循环有限子群 Γ⊂U(2) 构造标量曲率为零的凯勒 ALE 度量？
• RQ2 在 ℂ²/Γ 的极小化解上，这些度量是否具有全纯等距圆作用？
• RQ3 在极小化解的复结构的小形变下，此类度量是否依然存在？
• RQ4 在极小化解的复解析紧化上是否存在具有全纯圆作用的极值凯勒度量？
• RQ5 在何种条件下，此类标量曲率为零的凯勒 ALE 度量必为超凯勒度量？

主要发现

• 对于任意不含复反射的非循环有限子群 Γ⊂U(2)，在 ℂ²/Γ 的极小化解上存在标量曲率为零的凯勒 ALE 度量，且无穷远处的群为 Γ。
• 这些度量具有全纯等距圆作用，为解的几何结构提供了对称性。
• 在极小化解的复结构的小形变下，标量曲率为零的凯勒 ALE 度量依然存在，从而扩展了此类度量的模空间。
• 在极小化解的复解析紧化上，某些凯勒类中存在具有全纯等距圆作用的极值凯勒度量。
• 当且仅当 Γ⊂SU(2) 时，这些度量为超凯勒度量，该结论由引理 8.1 中的不等式（基于 η(S³/Γ) 和 b₂⁻(X̃)）确定。
• 构造过程中所需的唯一基本构件是多重 Eguchi-Hanson 度量，证实了其在粘合过程中的基础性作用。