[论文解读] A Solution of the P versus NP Problem

Norbert Blüm|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文将CNF-DNF近似器的应用从单调电路复杂度扩展到非单调电路，证明了团函数和Andreev函数的复杂性存在指数级下界。通过在非单调设置下建立这些下界，作者得出结论：P ≠ NP。

ABSTRACT

Berg and Ulfberg and Amano and Maruoka have used CNF-DNF-approximators to prove exponential lower bounds for the monotone network complexity of the clique function and of Andreev's function. We show that these approximators can be used to prove the same lower bound for their non-monotone network complexity. This implies P not equal NP.

研究动机与目标

• 将CNF-DNF近似器的应用从单调电路复杂度扩展到非单调电路复杂度。
• 为团函数和Andreev函数等基本函数的非单调网络复杂度建立指数级下界。
• 利用这些下界作为P与NP分离的证据。
• 证明在单调复杂度中有效的技术可被改编以解决非单调情形，这是证明P ≠ NP的关键步骤。

提出的方法

• 将最初为单调电路设计的CNF-DNF近似器框架适配至非单调电路环境。
• 使用近似器技术来界定非单调网络中计算团函数和Andreev函数的复杂度。
• 通过分析近似器的误差和敏感性，证明任何计算这些函数的非单调电路都必须具有指数规模。
• 建立这样的结构限制在非单调电路中也适用，当使用该方法时。
• 将近似器应用于分析非单调电路中与门和或门之间的相互作用，同时保持下界结构。
• 将Berg、Ulfberg、Amano和Maruoka的先前结果扩展至非单调情形，从而加强了复杂性理论的含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将此前在单调电路复杂度中有效的CNF-DNF近似器技术扩展至证明非单调电路复杂度的下界？
• RQ2 在单调电路中成立的指数级下界是否也适用于非单调电路中的团函数？
• RQ3 是否可以使用基于近似器的技术证明某些函数需要指数规模的非单调电路？
• RQ4 在非单调设置下存在此类指数级下界是否意味着P ≠ NP？
• RQ5 能否证明在单调电路中由近似器揭示的结构限制在更一般的非单调模型中依然存在？

主要发现

• CNF-DNF近似器技术成功地从单调电路扩展到非单调电路，同时保持其分析能力。
• 通过该方法，为团函数的非单调网络复杂度建立了指数级下界。
• 在非单调设置下，同样证明了Andreev函数的下界，确认了其固有的计算难度。
• 结果表明，存在NP中的问题无法被多项式规模的非单调电路解决。
• 论文基于非单调模型中这些指数级下界的存在，得出结论：P ≠ NP。
• 该方法提供了一个统一框架，通过近似器技术将单调与非单调电路复杂度联系起来。