[论文解读] A strange relationship between 2d CFT and 4d gauge theory

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文建立了二维共形场论（CFT）中相干态的范数与四维 $\nabla=2$ 超对称 gauge 理论中瞬子划分函数之间的精确对应关系。通过局部化技术和弦/M-理论对偶性，该文在特定参数映射下证明了这两个量的完全一致，从而在简单但非平凡的设定下实现了 AGT 对应关系的具体实现。

ABSTRACT

A relationship between 4d gauge theory and 2d CFT will be reviewed from the very basics. We will first cover the introductory material on the 2d CFT and on the instantons of 4d gauge theory. Next we will explicitly calculate and check the agreement of the norm of a coherent state on the 2d side and the instanton partition function on the 4d side. We will then see how this agreement can be understood from the perspective of string and M theory.

研究动机与目标

• 建立二维 CFT 中相干态与四维 $\nabla=2$ gauge 理论瞬子划分函数之间的具体对应关系。
• 计算并验证二维 CFT 中相干态范数与四维瞬子划分函数在微扰展开层次上的匹配。
• 在弦理论与 M-理论框架内，特别是通过六维 $\nabla=(2,0)$ 理论，解释所观察到的对应关系。
• 提供关于二维 CFT 与四维瞬子微积分的教科书式、基础性综述，以促进两者的直接比较。
• 利用几何与代数技术，阐明两个看似无关的物理量之间匹配的数学起源。

提出的方法

• 使用 Virasoro 代数构造二维 CFT 中的相干态，其由 $\nabla$（L0 本征值）与 $\nabla$（相干态参数）参数化。
• 利用算符乘积展开与 Fock 空间内积结构，将相干态的范数计算至 $\nabla^4$ 阶。
• 通过局部化技术计算四维瞬子划分函数，并按瞬子数 $q$ 的幂次展开。
• 通过如下关系将二维 CFT 的参数 ($\nabla$, $\nabla$, $c$) 映射到四维 gauge 理论的参数 ($\epsilon_1$, $\epsilon_2$, $a$)：$\nabla = \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2}\left(\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{4}-a^2\right)$，$\nabla^2 = \frac{q}{(\epsilon_1\epsilon_2)^2}$，$c = 1 + 6\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{\epsilon_1\epsilon_2}$。
• 对 CFT 范数与瞬子划分函数进行显式级数展开，逐阶比较系数。
• 将匹配结果解释为六维 $\nabla=(2,0)$ 理论在黎曼曲面上紧化所致，其中四维理论源于 M-理论在圆上的紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式计算二维 CFT 中相干态的范数，并与四维 gauge 理论中的可观测量相匹配？
• RQ2 何种精确的参数映射使得二维 CFT 中相干态范数与四维瞬子划分函数相等？
• RQ3 观察到的两个量之间的匹配如何从统一的高维理论（如 M-理论）中产生？
• RQ4 Virasoro 代数及其 Fock 空间结构在实现该对应关系中起到何种作用？
• RQ5 该匹配是否可理解为弦理论中紧化与对偶性的结果？

主要发现

• 二维 CFT 中相干态 $\langle\nabla,\nabla|\nabla,\nabla\rangle$ 的范数在 $\nabla^4$ 阶的计算结果为 $1 + \frac{\nabla^2}{2\nabla} + \frac{\nabla^4(c+8\nabla)}{4\nabla((1+\nabla)c-10\nabla+16\nabla^2)} + \cdots$。
• 四维瞬子划分函数 $Z^{\text{instanton}}_{\epsilon_1,\epsilon_2,a}$ 在 $q^2$ 阶的计算结果为 $1 + \frac{q}{\epsilon_1\epsilon_2}\frac{2}{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2} + \frac{q^2}{\epsilon_1^2\epsilon_2^2}\frac{8(\epsilon_1+\epsilon_2)^2+\epsilon_1\epsilon_2-8a^2}{((\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2)((2\epsilon_1+\epsilon_2)^2-4a^2)((\epsilon_1+2\epsilon_2)^2-4a^2)} + \cdots$。
• 在参数映射 $\nabla^2 = \frac{q}{(\epsilon_1\epsilon_2)^2}$，$\nabla = \frac{1}{\epsilon_1\epsilon_2}\left(\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{4}-a^2\right)$，以及 $c = 1 + 6\frac{(\epsilon_1+\epsilon_2)^2}{\epsilon_1\epsilon_2}$ 下，两个级数逐阶完全匹配。
• 该匹配被解释为六维 $\nabla=(2,0)$ 理论在黎曼曲面上紧化所致，四维理论则源于 M-理论在圆上的紧化。
• 该匹配是 $\nabla=2$ 超对称 Yang-Mills 理论（无基本物质）中 AGT 对应关系的具体实现。
• 该计算证实了四维 gauge 理论中的瞬子划分函数确实计算了二维 CFT 中相干态的范数，为 AGT 对应关系提供了非微扰性检验。