[论文解读] A supercongruence involving cubes of Catalan numbers

Roberto Tauraso|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了 Catalan 数立方的截断和在模 $p^3$ 下的超同余式，扩展了 Zhi-Wei Sun 之前在模 $p$ 下的结果。通过使用 $p$-进 Gamma 函数和超几何恒等式，证明了和式 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$ 满足依赖于 $p \mod 4$ 的同余式，涉及 $\Gamma_p(1/4)^4$ 和 Euler 数，对 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 和 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 给出了显式表达式。

ABSTRACT

We mainly show a supercongruence for a truncated series with cubes of Catalan numbers which extends a result by Zhi-Wei Sun.

研究动机与目标

• 将 Zhi-Wei Sun 对 Catalan 数立方的 $p$-超同余式推广到更高的 $p$-进精度，具体为模 $p^3$。
• 利用 Morita 的 $p$-进 Gamma 函数 $\Gamma_p$，为截断和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$ 建立闭式 $p$-进同余式。
• 通过 $p$-进分析和超几何恒等式，解决部分和 $C_k^d / (4^d)^k$ 在 $d=3$ 时无闭公式的情形。
• 对模 $p^2$ 和 $p^3$ 的已知同余式进行精细化处理，特别是针对满足 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 和 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的素数。

提出的方法

• 使用 Gould 的求和恒等式 (2) 和部分分式展开，推导出包含 $\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\binom{2k}{k}/(-4)^k$ 的多项式加权和。
• 应用二项式系数的 $p$-进展开和 $p$-进 Gamma 函数 $\Gamma_p$，分析 $\binom{2\lfloor n/2\rfloor}{\lfloor n/2\rfloor}^2 / 16^{\lfloor n/2\rfloor}$ 模 $p^3$ 的情形，其中 $n = (p-1)/2$。
• 运用已知的超几何恒等式，包括 Dixon 定理和文献 [10] 中的引理 4.2，以计算包含调和数 $H_k^{(2)}$ 的和。
• 对 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的情形，使用恒等式 $\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k \binom{2m}{k}^3 H_k^{(2)} = \frac{(-1)^m}{2} \frac{(3m)!}{(m!)^3} (H_m^{(2)} + H_{2m}^{(2)})$。
• 对 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的情形，通过变换包含 $\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\binom{2k}{k}/(-4)^k(k+1)^3$ 和 $H_{k+1}^{(2)}$ 的和，推导出同余式。
• 依赖于调和数和 Euler 数 $E_{p-3}$ 的 $p$-进展开，使用已知同余式如 $H_{\lfloor p/4\rfloor}^{(2)} \equiv_p (-1)^n 4E_{p-3}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为截断和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$ 建立模 $p^3$ 的超同余式，从而扩展 Sun 的 $p$-同余式？
• RQ2 $p$-进 Gamma 函数 $\Gamma_p(1/4)$ 在此类超同余式的结构中如何出现？
• RQ3 对于满足 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 和 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的素数，$p^3$-同余式表达式有何不同？
• RQ4 像 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k}$ 这类更高权的和是否也满足 $p^3$-超同余式？
• RQ5 超几何恒等式和 $p$-进调和数展开如何在证明此类超同余式中发挥作用？

主要发现

• 对任意素数 $p > 2$，当 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时，有 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} 8 - \frac{24p^2}{\Gamma_p^4(1/4)}$。
• 当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，该和满足 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} 8 - \frac{384}{\Gamma_p^4(1/4)}$。
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ 情形的同余式包含项 $-\Gamma_p^4(1/4)(1 + p^2 E_{p-3}/2)$，将其与 Euler 数联系起来。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ 情形的同余式在分子中包含一个修正项 $16 + 32p + p^2(48 - 8E_{p-3})$。
• 对 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k}$ 证明了一个次级超同余式：当 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时，有 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} -\frac{p^2}{40\Gamma_p^4(1/4)}$。
• 当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，同一和满足 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} -\frac{2}{5\Gamma_p^4(1/4)}$。