[论文解读] A Supermanifold structure on Spaces of Morphisms between Supermanifolds

F. Hanisch|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过基于Molotkov和Sachse框架的函子方法，在有限维超流形之间的光滑态射空间上构建了超流形结构。通过将态射识别为相关向量丛的截面，并利用Kriegl与Michor的便捷微积分方法赋予其无穷维流形结构，作者在映射超流形 $υυ\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ 上建立了与辅助选择（如联络）无关的超光滑结构。

ABSTRACT

The aim of this work is the construction of a "supermanifold of morphisms $X ightarrow Y$", given two finite-dimensional supermanifolds $X$ and $Y$. More precisely, we will define an object $\underline{SC}^\infty(X,Y)$ in the category of supermanifolds proposed by Molotkov and Sachse. Initially, it is given by the set-valued functor characterised by the adjunction formula $\mathrm{Hom}(P imes X,Y) \cong \mathrm{Hom}(P,\underline{SC}^\infty(X,Y))$ where $P$ ranges over all superpoints. We determine the structure of this functor in purely geometric terms: We show that it takes values in the set of certain differential operators and establish a bijective correspondence to the set of sections in certain vector bundles associated to $X$ and $Y$. Equipping these spaces of sections with infinite-dimensional manifold structures using the convenient setting by Kriegl and Michor, we obtain at a supersmooth structure on $\underline{SC}^\infty(X,Y)$, i.e. a supermanifold of all morphisms $X ightarrow Y$.

研究动机与目标

• 在有限维超流形 $X$ 与 $Y$ 之间，为光滑态射空间 $X \to Y$ 构建一个明确定义的超流形结构。
• 通过伴随公式定义的函子 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ 的几何实现，以微分算子和向量丛截面的形式表达。
• 利用Kriegl与Michor的便捷微积分框架，在映射超流形上建立超光滑图册。
• 证明所得的超流形结构不依赖于辅助几何选择（如相关丛上的联络）。

提出的方法

• 通过函子伴随关系定义映射超流形 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$：对所有超点 $P$，有 $\mathrm{Hom}(P \times X, Y) \cong \mathrm{Hom}(P, \underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y))$。
• 通过微分算子与超代数结构，几何地将该函子的取值识别为 $X$ 上特定向量丛的截面。
• 利用Kriegl与Michor的便捷微积分框架，为截面空间赋予无穷维流形结构，确保即使当 $X$ 非紧致时仍保持光滑性。
• 通过验证坐标表示的 $\Lambda_n^{\mathrm{ev}}$-线性性与过渡映射的超光滑性，构建超光滑图册。
• 通过显式构造超微分同胚，证明不同几何实现（如使用不同联络）所得到的超流形彼此同构。
• 利用微分同胚与超代数同态对态射的分解，分析坐标过渡的结构，并验证其超光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在有限维超流形之间的光滑态射空间上构建一个明确定义的超流形结构？
• RQ2 如何通过微分算子与向量丛截面的形式，几何地实现通过伴随公式定义的函子 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$？
• RQ3 所得的超流形结构是否依赖于如相关丛上联络等辅助选择？
• RQ4 能否利用便捷微积分框架，为态射的无穷维空间赋予超光滑结构？
• RQ5 映射超流形的不同几何实现是否具有自然同构性？

主要发现

• 通过函子伴随关系，将态射空间 $X \to Y$ 实现为超流形 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$，其取值被识别为 $X$ 上特定向量丛的截面。
• $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ 的取值被双射参数化为与 $X$ 和 $Y$ 相关的丛的截面，为态射提供了几何解释。
• 通过Kriegl与Michor的便捷微积分方法，在这些截面空间上建立了无穷维流形结构，从而在映射超流形上实现了超光滑结构。
• 通过构造使用不同联络的实现之间的超微分同胚，证明了超光滑结构不依赖于丛 $F$ 上联络的选择。
• 坐标图册之间的过渡映射是超光滑的，通过检查 $\Lambda_n^{\mathrm{ev}}$-线性性并借鉴早期引理中的计算得以验证。
• 该构造在任意两个 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$ 的实现之间产生一个典范的超微分同胚，证明了超流形结构不依赖于辅助数据。