[论文解读] Benamou-Brenier and duality formulas for the entropic cost on $RCD^*(K,N)$ spaces

Nicola Gigli, Luca Tamanini|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 22

一句话总结

本文在 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中建立了熵成本的三种等价变分表示：一种动态的本莫-布伦纳类型公式、一种哈密顿-雅可比-贝尔曼对偶性，以及一种使用熵霍普夫-拉克斯半群的库尔科维奇类型对偶性。主要贡献在于为薛定谔问题构建了一个完整且统一的对偶性框架，其在非光滑度量测度空间中与经典最优传输结果相呼应。

ABSTRACT

In this paper we prove that, within the framework of $RCD^*(K,N)$ spaces with $N < \infty$, the entropic cost (i.e. the minimal value of the Schrödinger problem) admits: - a threefold dynamical variational representation, in the spirit of the Benamou-Brenier formula for the Wasserstein distance; - a Hamilton-Jacobi-Bellman dual representation, in line with Bobkov-Gentil-Ledoux and Otto-Villani results on the duality between Hamilton-Jacobi and continuity equation for optimal transport; - a Kantorovich-type duality formula, where the Hopf-Lax semigroup is replaced by a suitable `entropic' counterpart. We thus provide a complete and unifying picture of the equivalent variational representations of the Schrödinger problem (still missing even in the Riemannian setting) as well as a perfect parallelism with the analogous formulas for the Wasserstein distance.

研究动机与目标

• 将经典最优传输对偶性框架——最初为 Wasserstein 距离所发展——推广至非光滑度量测度空间中的薛定谔问题。
• 建立类似于 Wasserstein 距离本莫-布伦纳公式的熵成本动态变分表示。
• 证明熵成本的哈密顿-雅可比-贝尔曼对偶性，将 HJB 方程的次解与类似动能泛函的最小化联系起来。
• 推导一种库尔科维奇类型对偶性，其中标准霍普夫-拉克斯半群被合适的熵对应物所取代。
• 将黎曼情形下的现有对偶结果统一并推广至有限 $N$ 的 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 空间类。

提出的方法

• 通过在满足连续性方程的流上最小化时间积分动能泛函，将本莫-布伦纳动态公式适配至熵成本。
• 通过考虑反向 HJB 方程的次解并利用对偶不等式，引入哈密顿-雅可比-贝尔曼对偶性。
• 通过构造一个缩放后的熵霍普夫-拉克斯半群 $Q_1^\varepsilon u := \varepsilon \log(\mathsf{h}_{\varepsilon/2} e^{u/\varepsilon})$，建立对偶表示，取代经典霍普夫-拉克斯公式。
• 使用热流 $\mathsf{h}_t$ 和截断参数 $\delta, s > 0$ 的正则化过程，以处理非光滑性，并确保在 $L^2$ 和 $L^\infty$ 空间中的收敛性。
• 应用对偶不等式 $\int \phi_1 \, d\mu_1 - \int \phi_0 \, d\mu_0 \leq \varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$，其中 $\phi_t$ 是 HJB 方程的次解，在最优情况下取等号。
• 利用薛定谔问题的最小解对应一对对偶函数 $\varphi^\varepsilon, \psi^\varepsilon$，分别满足 HJB 方程和福克-普朗克方程的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中，熵成本能否通过类似于 Wasserstein 距离本莫-布伦纳公式的动态变分公式表示？
• RQ2 是否存在熵成本的哈密顿-雅可比-贝尔曼对偶性，将 HJB 方程的次解与薛定谔问题中的最小作用量联系起来？
• RQ3 能否为熵成本建立一种库尔科维奇类型对偶性，用熵对应物替代经典霍普夫-拉克斯半群？
• RQ4 经典最优传输对偶结果在多大程度上可推广至非光滑、可能非黎曼的度量测度空间中的薛定谔问题？
• RQ5 在 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 空间中熵传输的背景下，连续性方程与 HJB 方程之间的对偶性应如何推广？

主要发现

• 熵成本 $\varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$ 具有三种变分表示：一种动态的本莫-布伦纳类型公式、一种哈密顿-雅可比-贝尔曼对偶性，以及一种库尔科维奇类型对偶性。
• 哈密顿-雅可比-贝尔曼对偶性通过不等式 $\int \phi_1 \, d\mu_1 - \int \phi_0 \, d\mu_0 \leq \varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$ 建立，其中 $\phi_t$ 是反向 HJB 方程的次解，在 $\phi_t$ 为最大次解时取等号。
• 库尔科维奇对偶性表示为 $\varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1) = \varepsilon H(\mu_1 \mid \mathfrak{m}) + \sup_{u \in \mathbb{V}} \left\{ \int u \, d\mu_0 - \int Q_1^\varepsilon u \, d\mu_1 \right\}$，其中 $Q_1^\varepsilon u = \varepsilon \log(\mathsf{h}_{\varepsilon/2} e^{u/\varepsilon})$。
• 证明了熵霍普夫-拉克斯半群 $Q_1^\varepsilon$ 是薛定谔问题对偶框架中经典霍普夫-拉克斯公式的正确替代。
• 对偶结果在正则化下具有鲁棒性：通过引入热流 $\mathsf{h}_t$ 和截断参数 $\delta, s > 0$，作者取极限得到最终的对偶公式。
• 结果以统一且完整的方式将经典最优传输对偶公式推广至薛定谔问题，即使在缺乏光滑黎曼结构的情况下也成立。