[论文解读] A survey on spectral conditions for some extremal graph problems

Yongtao Li, Weijun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2021

Graph theory and applications参考文献 155被引用 29

一句话总结

一份全面综述，围绕 Turán-type 问题及相关图性质的谱极值结果，聚焦邻接谱和无符号拉普拉斯谱。

ABSTRACT

This survey is two-fold. We first report new progress on the spectral extremal results on the Turán type problems in graph theory. More precisely, we shall summarize the spectral Turán function in terms of the adjacency spectral radius and the signless Laplacian spectral radius for various graphs. For instance, the complete graphs, general graphs with chromatic number at least three, complete bipartite graphs, odd cycles, even cycles, color-critical graphs and intersecting triangles. The second goal is to conclude some recent results of the spectral conditions on some graphical properties. By a unified method, we present some sufficient conditions based on the adjacency spectral radius and the signless Laplacian spectral radius for a graph to be Hamiltonian, $k$-Hamiltonian, $k$-edge-Hamiltonian, traceable, $k$-path-coverable, $k$-connected, $k$-edge-connected, Hamilton-connected, perfect matching and $β$-deficient.

研究动机与目标

• 总结关于完整图、一般图、二分图、圈和色彩临界图的谱（邻接谱与无符号拉普拉斯谱）Turán-type 结果。
• 综述谱参数如何约束图的性质，如 Hamiltonicity（哈密顿性）、连通性和完美匹配。
• 突出将谱界与经典极值结果联系起来的统一方法，并识别关键极值结构（如 Turán 图）。

提出的方法

• 利用特征值和 Motzkin–Straus 拉格朗日框架，给出 Turán-type 定理的谱模拟结果。
• 讨论界限如 λ(G) ≤ λ(T_r(n)) 对 K_{r+1}-free 图和 q(G) ≤ q(T_r(n)) 对无符号拉普拉斯谱的界。
• 利用经典结果（Nosal、Wilf、Erdős–Stone–Simonovits）将谱界与边数联系起来。
• 概述 p-谱半径的推广及避免特征多项式的方法。
• 引用并综合证明何时取等号以及哪些图达到极值的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不包含给定子图 F 的图，其最大邻接谱半径和无符号拉普拉斯谱半径是多少？
• RQ2 在各种禁止子图下，谱极值结果与经典的边数极值（Turán-type）结果如何比较？
• RQ3 哪些图类（如 K_{r+1}-free、二分图、圈）在谱 Turán-type 界限中达到等号？
• RQ4 谱界如何隐含或加强传统的 Turán-type 边界？
• RQ5 哪些统一方法将谱半径与哈密顿性、连通性和匹配性质联系起来？

主要发现

• 谱 Turán 结果表明 K_{r+1}-free 图有 λ(G) ≤ λ(T_r(n))，在某些情形等号刻画 T_r(n)。
• 无符号拉普拉斯界 q(G) ≤ q(T_r(n)) 将 Wilf 型结果推广到 K_{r+1}-free 图，在特定构型下有等号。
• Motzkin–Straus 框架将团数与谱界联系起来，使得能对 Turán-type 结果给出谱证明。
• 界如 λ(G) ≤ (1 − 1/χ(F))n 及相关改进将谱半径与色数和禁止子图联系起来。
• 扩展到 p-谱半径提供一个更广泛、基于多项式的谱极值视角。