[论文解读] A tensor product state approach to spin-1/2 square $J_1$-$J_2$ antiferromagnetic Heisenberg model: evidence for deconfined quantum criticality

Ling Wang, Zheng‐Cheng Gu+2 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Dec 14, 2011

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 3

一句话总结

本研究采用张量乘积态（TPS）方法结合簇更新算法，研究正方晶格上的自旋-1/2 $J_1$-$J_2$ 费米哈密顿量模型。在 $J_2^c = 0.572(5)J_1$ 处提供了强有力的数值证据，表明存在一个禁闭量子临界点（DQCP），其临界指数为 $\nu = 0.50(8)$，$\eta_s = 0.28(6)$，且 dimer 和 plaquette 关联函数表现出反常标度，与无能隙 $U(1)$ 自旋液体行为一致，尽管在热力学极限下可能存在对价键固态序的不稳定性。

ABSTRACT

The ground state phase of spin-1/2 $J_1$-$J_2$ antiferromagnetic Heisenberg model on square lattice around the maximally frustrated regime ($J_2\sim 0.5J_1$) has been debated for decades. Here we study this model using the cluster update algorithm for tensor product states (TPSs). The ground state energies at finite sizes and in the thermodynamic limit (with finite size scaling) are in good agreement with exact diagonalization study. Through finite size scaling of the spin correlation function, we find the critical point $J_2^{c_1}=0.572(5)J_1$ and critical exponents $ν=0.50(8)$, $η_s=0.28(6)$. In the range of $0.572 < J_2/J_1 \leqslant 0.6 $ we find a paramagnetic ground state with exponentially decaying spin-spin correlation. Up to $24 imes 24$ system size, we observe power law decaying dimer-dimer and plaquette-plaquette correlations with an anomalous plaquette scaling exponent $η_p=0.24(1)$ and an anomalous columnar scaling exponent $η_c=0.28(1)$ at $J_2/J_1=0.6$. These results are consistent with a potential gapless $U(1)$ spin liquid phase. However, since the $U(1)$ spin liquid is unstable due to the instanton effect, a VBS order with very small amplitude might develop in the thermodynamic limit. Thus, our numerical results strongly indicate a deconfined quantum critical point (DQCP) at $J_2^{c_1}$. Remarkably, all the observed critical exponents are consistent with the $J-Q$ model.

研究动机与目标

• 为解决自旋-1/2 $J_1$-$J_2$ 费米哈密顿量模型在正方晶格上量子相变本质的长期争议。
• 确定在 $J_2 \sim 0.5J_1$ 处的相变是连续的还是的一阶相变，以及是否存在一个禁闭量子临界点（DQCP）。
• 研究基态相图，特别是顺磁区是否存在自旋液体或价键固态（VBS）相。
• 评估假定的 $U(1)$ 自旋液体相在瞬子效应影响下的稳定性，以及潜在的 VBS 有序形成。

提出的方法

• 本研究采用张量乘积态（TPS）作为基态波函数的变分形式，从而实现对量子多体态的高效变分优化。
• 采用簇更新算法执行虚时演化，实现对哈密顿量的精确且稳定的模拟，提升收敛性并减少误差累积。
• 演化算符通过 Trotter 分解构建，并表示为矩阵乘积算符（MPO），从而实现在位点簇上的高效收缩与更新。
• 对自旋-自旋、dimer-dimer 和 plaquette-plaquette 关联函数进行有限尺寸标度，以提取临界指数并定位量子临界点。
• 该方法允许通过键维数 $D$ 和 $D_c$ 的有限尺寸标度，对基态能量进行外推，以逼近热力学极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $J_1$-$J_2$ 费米哈密顿量模型中，从 Néel 有序相到顺磁相的量子相变是连续的还是一阶的？
• RQ2 在 $J_2 \approx 0.5J_1$ 处的临界点是否表现出禁闭量子临界点（DQCP）的特征？
• RQ3 在 $0.572 < J_2/J_1 \leq 0.6$ 的参数区间内，顺磁基态的性质是什么——是 $U(1)$ 自旋液体还是价键固态？
• RQ4 所观测到的临界指数是否与 $J-Q$ 模型 DQCP 的预测值一致？

主要发现

• Néel 相到顺磁相的相变临界点位于 $J_2^c = 0.572(5)J_1$，临界指数 $\nu = 0.50(8)$ 和 $\eta_s = 0.28(6)$ 与连续相变一致。
• 在顺磁相（$0.572 < J_2/J_1 \leq 0.6$）中，自旋-自旋关联函数呈指数衰减，表明为能隙自旋液体或短程纠缠态。
• dimer-dimer 和 plaquette-plaquette 关联函数表现出幂律衰减，且具有反常标度指数 $\eta_p = 0.24(1)$ 和 $\eta_c = 0.28(1)$（在 $J_2/J_1 = 0.6$ 处），表明可能存在无能隙 $U(1)$ 自旋液体行为。
• 所观测到的临界指数与 $J-Q$ 模型 DQCP 的预测值高度一致，强烈支持禁闭量子临界点的存在。
• 尽管存在无能隙 $U(1)$ 自旋液体的证据，但瞬子效应引起的不稳定性表明，在热力学极限下可能发展出小振幅的 VBS 有序。
• 基态能量的有限尺寸标度结果与精确对角化结果高度一致，验证了数值方法的可靠性。