[论文解读] A thermodynamical formalism for Monge-Ampere equations, Moser-Trudinger inequalities and Kahler-Einstein metrics

Robert J. Berman|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 62被引用 13

一句话总结

本文通过在概率测度上发展自由能泛函的变分法，为凯勒流形上的复蒙日-安培方程引入了一套热力学形式化体系，推广了Mabuchi的K-能量和Ding的泛函。该研究建立了扭曲凯勒-爱因斯坦度量的存在性结果以及Moser-Trudinger不等式，证明了沿反Canonical除子奇点的凯勒-爱因斯坦度量的存在性（证实了Donaldson的一个猜想），并展示了在特定条件下Calabi流的收敛性。

ABSTRACT

We develop a variational calculus for a certain free energy functional on the space of all probability measures on a Kahler manifold X. This functional can be seen as a generalization of Mabuchi's K-energy functional and its twisted versions to more singular situations. Applications to Monge-Ampère equations of mean field type, twisted Kahler-Einstein metrics and Moser-Trudinger type inequalities on Kahler manifolds are given. Tian's α- invariant is generalized to singular measures, allowing i particular the construction of Kahler-Einstein metrics with positive Ricci curvature that are singular along a given anti-canonical divisor (as proposed in a very recent program of Donaldson). As another application we show that if the Calabi flow in the (anti-) canonical class exits for all times then it converges to a Kahler-Einstein metric, when one exists. Applications to the probabilistic/statistical mechanical approach to the construction of Kahler-Einstein metrics, very recently introduced by the author, will appear elsewhere.

研究动机与目标

• 在凯勒流形上的概率测度上发展自由能泛函的变分法，推广Mabuchi的K-能量和Ding的泛函。
• 建立均场型蒙日-安培方程及扭曲凯勒-爱因斯坦度量解的存在性结果。
• 将Tian的α-不变量推广至奇异测度，从而实现沿反Canonical除子奇点的凯勒-爱因斯坦度量的构造。
• 在唯一凯勒-爱因斯坦度量存在时，证明Calabi流收敛于凯勒-爱因斯坦度量。
• 通过Legendre对偶与凸分析，为凯勒流形上的Moser-Trudinger型不等式提供一个变分框架。

提出的方法

• 在凯勒流形 $ X $ 上的概率测度空间 $ \nu $ 上定义自由能泛函 $ F(\nu) $，其与蒙日-安培方程 $ \frac{(\omega + dd^c u)^n}{Vn!} = \frac{e^{\beta u} \mu_0}{\int_X e^{\beta u} \mu_0} $ 相关。
• 利用Legendre对偶将 $ F(\nu) $ 与 $ \omega $-拟凸函数 $ u $ 上的泛函 $ \mathcal{G}(u) $ 关联，推广Ding泛函。
• 为奇异测度 $ \mu $ 引入广义 $ \alpha $-不变量 $ \alpha(L, \mu) $，其定义为满足对所有 $ \psi \in \text{PSH}(X, \omega) $ 有 $ \int_X e^{-t \psi} \, d\mu < \infty $ 的 $ t $ 的上确界。
• 应用 $ L^2 $-估计与线丛截面的对数范数，刻画奇异权函数 $ \psi = \frac{1}{m} \log |s_m|^2 $ 上 $ I_t $-泛函的有限性。
• 利用凹性与Hölder不等式，证明 $ \alpha^*(L, \mu) $ 关于 $ \lambda $ 是凹的，从而允许在 $ \alpha(L, \mu) $ 的定义中对 $ \psi $ 取下确界。
• 证明当 $ \mu = \mu_\Delta $ 与一个klt除子 $ \Delta $ 相关时，有 $ \alpha(L, \mu) = \inf_{D_m} \text{lct}_X(X, D_m + \Delta) $，将该不变量与对数典范阈值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过概率测度上的变分方法，为凯勒-爱因斯坦几何建立热力学形式化体系？
• RQ2 如何利用自由能泛函将Mabuchi的K-能量与Ding的泛函推广至奇异情形？
• RQ3 广义 $ \alpha $-不变量 $ \alpha(L, \mu) $ 在具有指定奇点的凯勒-爱因斯坦度量存在性中起何作用？
• RQ4 当唯一凯勒-爱因斯坦度量存在时，Calabi流是否收敛于该度量？能否通过变分方法证明？
• RQ5 能否从热力学与凸分析框架出发，推导出凯勒流形上的Moser-Trudinger型不等式？

主要发现

• 与klt除子 $ \Delta $ 相关的测度 $ \mu_\Delta $ 的广义 $ \alpha $-不变量 $ \alpha(L, \mu_\Delta) $ 满足 $ \alpha(L, \mu_\Delta) = \inf_{D_m} \text{lct}_X(X, D_m + \Delta) $，从而将其与对数典范阈值联系起来。
• 证明了沿给定反Canonical除子奇点的正 Ricci 曲率凯勒-爱因斯坦度量的存在性，证实了Donaldson的一个猜想。
• 在Calabi流在（反）Canonical类中存在且唯一凯勒-爱因斯坦度量时，若流对所有时间存在，则其收敛于凯勒-爱因斯坦度量。
• 证明了自由能泛函 $ F(\nu) $ 在具有有限熵与有限全复能的测度上是有限的，从而使得在奇异情形下可应用凸分析。
• 泛函 $ I_t(\psi) $ 对所有 $ \psi \in \text{PSH}(X, \omega) $ 有限，当且仅当对所有 $ \psi = \frac{1}{m} \log |s_m|^2 $ 有限，从而将有限性条件简化为线丛截面的情形。
• 泛函 $ \alpha^*(L, \mu) $ 关于 $ \lambda $ 是凹的，这使得可在 $ \alpha(L, \mu) $ 的定义中对 $ \psi $ 取下确界，确保其在扰动下的稳定性。