[论文解读] Monge-Ampère equations in big cohomology classes

Sébastien Boucksom, Philippe Eyssidieux+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用 25

一句话总结

该论文通过为紧致凯勒流形上大上同调类中的闭正(1,1)-当前引入一种规范的非极值积，建立了复蒙日-安培方程在大上同调类中解的存在性与唯一性。证明了任意全质量等于大类体积的正测度，唯一地可表示为该类中闭正当前的非极值蒙日-安培测度，将先前在凯勒情形下的结果推广至大上同调类，并应用于奇异凯勒爱因斯坦度量。

ABSTRACT

We define non-pluripolar products of closed positive currents on a compact Kaehler manifold. We show that a positive non-pluripolar measure can be written in a unique way as the top degree self-intersection (in the non-pluripolar sense) of a closed positive current in given big cohomology class. The solution is shown to have minimal singularities in the sense of Demailly if the measure is regular enough. These results are combined with a fixed point argument to construct singular Kaehler-Einstein volume forms with minimal singularities on varieties of general type.

研究动机与目标

• 将复蒙日-安培方程的理论从凯勒情形推广至紧致凯勒流形上的大上同调类。
• 为任意闭正(1,1)-当前定义一种规范的、闭的且非极值的积。
• 证明任意全质量且在极值集上无质量的正测度，唯一地可表示为大类中某一当前的高阶非极值自交积。
• 在额外的可积性或曲率条件下，建立解的正则性结果。
• 在一般型代数簇上构造具有最小奇异性的奇异凯勒爱因斯坦度量。

提出的方法

• 通过正则化与截断过程，引入闭正(1,1)-当前的规范非极值积。
• 为任意闭正(1,1)-当前T定义非极值蒙日-安培测度⟨Tⁿ⟩，并证明其为闭测度且在极值集上无质量。
• 证明∫X⟨Tⁿ⟩ ≤ vol(α)，且等式成立当且仅当T具有全蒙日-安培质量。
• 使用近似泽里科分解，将大类情形约化为凯勒情形以证明存在性。
• 应用科洛杰普的极值势论方法，在L¹⁺ε密度假设下导出L∞先验估计。
• 利用不动点定理，在一般型代数簇上构造具有最小奇异性的奇异凯勒爱因斯坦体积形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大上同调类中，任意闭正(1,1)-当前的非极值蒙日-安培积能否被规范地定义？
• RQ2 在何种条件下，全质量为vol(α)的正测度μ可表示为⟨Tⁿ⟩（其中T ∈ α）？
• RQ3 解T满足⟨Tⁿ⟩ = μ时，其何时具有最小奇异性？
• RQ4 当μ光滑且处处正，且α为拟有效时，解T在充分大区域Amp(α)上是否光滑？
• RQ5 能否在一般型代数簇上构造具有最小奇异性的奇异凯勒爱因斯坦度量？

主要发现

• 对任意闭正(1,1)-当前T₁,…,Tₚ，非极值积⟨T₁ ∧ … ∧ Tₚ⟩有良好定义，为闭测度，且在极值集上无质量。
• 对任意大类α及任意满足μ(X) = vol(α)且在极值集上无质量的正测度μ，存在唯一T ∈ α使得⟨Tⁿ⟩ = μ。
• 若μ关于勒贝格测度具有L¹⁺ε密度，则解T具有最小奇异性，即在α中所有当前里其极点最少。
• 当μ光滑且处处正，且α为拟有效时，解T在充分大区域Amp(α)上为C∞。
• 通过不动点定理，本文在一般型代数簇上构造了具有最小奇异性的奇异凯勒爱因斯坦体积形式。
• 若Siu型拟凸势函数ρ具有最小奇异性，则其对应线丛L的截面环R(L)是有限生成的。