[论文解读] A twisted generalization of Lie-Yamaguti algebras

Donatien Gaparayi, Issa A. Nourou|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文引入了同态李-山口代数作为李-山口代数的扭曲推广，统一了同态李代数、同态李三重系统和同态南布代数。证明了同态李-山口代数的范畴在自同态的扭曲下是封闭的，并表明当三元运算以特定方式通过二元运算定义时，该结构成为同态马尔切夫代数，从而建立了经典李-山口-马尔切夫关系的同态类比。

ABSTRACT

A twisted generalization of Lie-Yamaguti algebras, called Hom-Lie-Yamaguti algebras, is defined. Hom-Lie-Yamaguti algebras generalize Hom-Lie triple systems (and susequently ternary Hom-Nambu algebras) and Hom-Lie algebras in the same way as Lie-Yamaguti algebras generalize Lie triple systems and Lie algebras. It is shown that the category of Hom-Lie-Yamaguti algebras is closed under twisting by self-morphisms. Constructions of Hom-Lie-Yamaguti algebras from classical Lie-Yamaguti algebras and Malcev algebras are given. It is observed that, when the ternary operation of a Hom-Lie-Yamaguti algebra expresses through its binary one in a specific way, then such a Hom-Lie-Yamaguti algebra is a Hom-Malcev algebra.

研究动机与目标

• 通过在定义恒等式中引入扭曲映射，定义李-山口代数的扭曲推广，称为同态李-山口代数。
• 建立同态李-山口代数范畴在自同态扭曲下的封闭性。
• 通过自同态扭曲，从经典李-山口代数和马尔切夫代数构造同态李-山口代数。
• 探讨同态李-山口代数与同态马尔切夫代数之间的关系，特别是当三元运算通过二元运算表达时。
• 将已知的经典李-山口代数与马尔切夫代数之间的关系扩展到同态代数设定中。

提出的方法

• 通过使用自映射 α 扭曲李-山口代数的公理，定义同态李-山口代数，使得当 α 为恒等映射时，可恢复原始的李-山口代数。
• 使用 D. Yau 的一般构造方法，通过自同态从经典李-山口代数和马尔切夫代数生成同态李-山口代数。
• 引入三元运算的特定表达式：{x,y,z} = -Jα(x,y,z) + 2[[x,y],α(z)]，其中 Jα 是 [[x,y],α(z)] 的循环和。
• 证明若该表达式成立，则同态李-山口代数满足同态马尔切夫恒等式，从而成为同态马尔切夫代数。
• 验证同态马尔切夫恒等式等价于以二元和三元运算表示的三元相容性条件。
• 利用 α 的乘法性与循环和恒等式，推导并验证同态马尔切夫恒等式与三元相容性条件之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，同态李-山口代数退化为同态马尔切夫代数？
• RQ2 如何通过自同态系统地从经典李-山口代数和马尔切夫代数构造同态李-山口代数？
• RQ3 当结构成为同态马尔切夫代数时，同态李-山口代数中三元运算与二元运算之间的精确关系是什么？
• RQ4 当三元运算以特定方式通过二元运算定义时，同态马尔切夫恒等式是否等价于一个三元相容性条件？
• RQ5 能否证明同态李-山口代数的范畴在自同态扭曲过程下是封闭的？

主要发现

• 同态李-山口代数的范畴在自同态扭曲下是封闭的，这意味着若 (V,*,{,,},α) 是一个同态李-山口代数，且 β 是一个自同态，则可通过 β 构造一个新的同态李-山口代数。
• 通过使用自同态 β 扭曲运算，可从任意经典李-山口代数（或马尔切夫代数）构造同态李-山口代数，得到一个新的代数 (A,~,{,,},β)。
• 当同态李-山口代数的三元运算定义为 {x,y,z} = -Jα(x,y,z) + 2[[x,y],α(z)] 时，该代数满足同态马尔切夫恒等式，因此成为同态马尔切夫代数。
• 同态马尔切夫恒等式等价于三元相容性条件 [α(x),α(y),[u,v]] = [[{x,y,u},α²(v)] + [α²(u),{x,y,v}]]，表明同态马尔切夫恒等式可使用三元运算重写。
• 该构造建立了经典结果的同态类比：若三元运算按 (4.1) 式通过二元运算定义，则同态马尔切夫代数是一个同态李-山口代数。
• 同态马尔切夫恒等式与三元相容性条件 (4.5) 之间的等价性确认了，在指定运算表达式下，同态马尔切夫代数结构可被同态李-山口框架完全捕捉。