[论文解读] Hom-Maltsev, Hom-alternative, and Hom-Jordan algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用 29

一句话总结

本论文提出了Maltsev、替代和Jordan代数的Hom型推广形式，即Hom-Maltsev、Hom-替代和Hom-Jordan代数，证明在新定义下，Hom-替代代数同时是Hom-Maltsev-容许的和Hom-Jordan-容许的。论文推导出类似于经典Moufang恒等式的Hom-Moufang恒等式，通过代数自同态的扭变，将替代代数的关键结构性质推广至Hom情形。

ABSTRACT

Hom-Maltsev(-admissible) algebras are defined, and it is shown that Hom-alternative algebras are Hom-Maltsev-admissible. With a new definition of a Hom-Jordan algebra, it is shown that Hom-alternative algebras are Hom-Jordan-admissible. Hom-type generalizations of some well-known identities in alternative algebras, including the Moufang identities, are obtained.

研究动机与目标

• 通过使用自映射（扭变映射）扭变定义恒等式，发展Maltsev、替代和Jordan代数的Hom型推广形式。
• 建立Hom-替代代数是Hom-Maltsev-容许的，推广经典结果：替代代数是Maltsev-容许的。
• 引入Hom-Jordan代数的新定义，使得Hom-替代代数是Hom-Jordan-容许的，扩展经典中替代代数的Jordan-容许性。
• 推导出Hom-Moufang恒等式，作为Hom-替代情形下经典Moufang恒等式的类比。

提出的方法

• 通过使用自同态α扭变Maltsev恒等式，定义Hom-Maltsev代数，推广Maltsev代数和Hom-Lie代数。
• 引入Hom-结合子，并将Hom-替代代数定义为Hom-结合子为交错形式的代数。
• 通过交换子Hom-代数构造，从Hom-替代代数构造出Hom-Maltsev代数，证明其Hom-Maltsev-容许性。
• 定义一类新的Hom-Jordan代数，使得任意Hom-替代代数的加法Hom-代数均为Hom-Jordan代数。
• 证明Hom-Maltsev代数类在导出Hom-代数构造下封闭，并且在任意代数自同态α的扭变下也封闭。
• 通过使用Hom-结合子和Hom-结合子的交错性，将经典证明方法适配至Hom情形，推导出Hom-Moufang恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Maltsev-容许性的概念能否推广至Hom情形，使得通过交换子构造，Hom-替代代数能导出Hom-Maltsev代数？
• RQ2 是否存在一种Hom-Jordan代数的定义，使得Hom-替代代数是Hom-Jordan-容许的，类似于经典中替代代数的Jordan-容许性？
• RQ3 Hom-替代代数是否满足类似于经典替代代数中Moufang恒等式的Hom-Moufang恒等式？
• RQ4 Hom-Maltsev和Hom-Jordan-容许性在通过代数自同态α扭变后是否仍然保持？
• RQ5 哪些结构恒等式（如Hom-Moufang恒等式）控制着Hom-替代代数？

主要发现

• Hom-替代代数是Hom-Maltsev-容许的：任意Hom-替代代数的交换子Hom-代数均为Hom-Maltsev代数。
• 引入了一种Hom-Jordan代数的新定义，使得任意Hom-替代代数的加法Hom-代数均为Hom-Jordan代数，从而确立了Hom-Jordan-容许性。
• Hom-Maltsev恒等式在导出Hom-代数构造下保持不变，且Hom-Maltsev代数类在任意代数自同态α的扭变下封闭。
• Hom-Moufang恒等式在Hom-替代代数中成立：((xy)α(x))α²(z) = α²(x)(α(y)(xz))，((zx)α(y))α²(x) = α²(z)(α(x)(yx))，以及α((xy)(zx)) = α²(x)((yz)α(x))。
• 例子表明，Hom-替代代数可以导出非Hom-Lie的Hom-Maltsev代数，且存在非Hom-替代或非Maltsev-容许的Hom-灵活、Hom-Maltsev-容许代数。
• 3×3酉八元数矩阵的27维例外单Jordan代数在新构造下产生非Jordan的Hom-Jordan代数。