[论文解读] A universality theorem for allowable sequences with applications

Udo Hoffmann, Keno Merckx|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文建立了允许序列的普遍性定理——点集的精细组合抽象——证明其实现空间的复杂度可达到任意半代数集的水平，使得实现性决策问题在存在理论（∃ℝ）中完全。即使所诱导的顺序类型是可实现的，该结果依然成立，并为凸几何实现性和带孔多边形可见性图识别问题提供了新的∃ℝ-难问题证明。

ABSTRACT

Order types are a well known abstraction of combinatorial properties of a point set. By Mnëv's universality theorem for each semi-algebraic set $V$ there is an order type with a realization space that is \emph{stably equivalent} to $V$. We consider realization spaces of \emph{allowable sequences}, a refinement of order types. We show that the realization spaces of allowable sequences are \emph{universal} and consequently deciding the realizability is complete in the \emph{existential theory of the reals} (\ER). This result holds even if the realization space of the order type induced by the allowable sequence is non-empty. Furthermore, we argue that our result is a useful tool for further geometric reductions. We support this by giving \ER-hardness proofs for the realizability of abstract convex geometries and for the recognition problem of visibility graphs of polygons with holes using the hardness result for allowable sequences. This solves two longstanding open problems.

研究动机与目标

• 建立允许序列实现空间的普遍性定理，将Mnëv定理从顺序类型推广至这一更精细的组合模型。
• 证明即使所诱导的顺序类型是可实现的，允许序列的实现性问题在存在理论（∃ℝ）中也是完备的。
• 展示允许序列实现性的∃ℝ-难问题特性可作为几何约化的强大工具。
• 解决两个长期悬而未决的问题：凸几何实现性的∃ℝ-完备性，以及带孔多边形可见性图识别问题的∃ℝ-完备性。

提出的方法

• 通过几何约束的组合编码，将任意半代数集约化为允许序列的实现空间。
• 利用允许序列对顺序类型的细化，保留方向信息的同时编码线旋转下的动态点集构型。
• 证明允许序列的实现空间与任意给定的半代数集稳定等价，将Mnëv的普遍性推广至该设定。
• 引入简单允许序列（仅含相邻交换）的构造，以建模无平行线对的一般位置点集。
• 将普遍性结果应用于将已知的∃ℝ-完备问题约化为可见性图和凸几何实现性问题。
• 利用几何对偶性和视线遮挡论证，建模带孔多边形中的可见性约束，证明∃ℝ-难问题可通过允许序列约化传递。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mnëv定理的普遍性原理能否从顺序类型推广至允许序列？
• RQ2 即使所诱导的顺序类型是可实现的，允许序列的实现性问题是否在∃ℝ中完备？
• RQ3 是否可利用允许序列实现性的∃ℝ-难问题特性，证明其他几何实现性问题的难解性？
• RQ4 抽象凸几何实现性问题是否在∃ℝ中完备？
• RQ5 带孔多边形可见性图识别问题是否在∃ℝ中完备？

主要发现

• 任何允许序列的实现空间与任意给定的半代数集稳定等价，证明了该模型的普遍性定理。
• 即使所诱导的顺序类型是可实现的，允许序列的实现性问题在存在理论（∃ℝ）中也是完备的。
• 该结果对简单允许序列（仅含相邻对换）也成立，对应于无平行线对的一般位置点集。
• 允许序列实现性的∃ℝ-难问题特性为几何问题提供了新的约化工具。
• 本文证明了抽象凸几何实现性的∃ℝ-完备性，解决了长期悬而未决的问题。
• 本文确立了带孔多边形可见性图识别问题的∃ℝ-完备性，解决了另一项长期悬而未决的问题。