[论文解读] A variational finite volume scheme for Wasserstein gradient flows

Clément Cancès, Thomas Gallouët+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 68被引用 27

一句话总结

本论文提出了一种新颖的变分有限体积格式，用于求解Wasserstein梯度流，通过结合JKO半离散化的时间离散化方法与空间离散化的上游迁移率两点通量近似。该方法保持了连续问题的变分结构，保证了解的非负性与能量衰减，并已证明对线性Fokker-Planck方程具有收敛性。该格式在时间和空间上均达到一阶精度，且在各类能量和初始分布下表现出强鲁棒性。

ABSTRACT

We propose a variational finite volume scheme to approximate the solutions to Wasserstein gradient flows. The time discretization is based on an implicit linearization of the Wasserstein distance expressed thanks to Benamou-Brenier formula, whereas space discretization relies on upstream mobility two-point flux approximation finite volumes. Our scheme is based on a first discretize then optimize approach in order to preserve the variational structure of the continuous model at the discrete level. Our scheme can be applied to a wide range of energies, guarantees non-negativity of the discrete solutions as well as decay of the energy. We show that our scheme admits a unique solution whatever the convex energy involved in the continuous problem, and we prove its convergence in the case of the linear Fokker-Planck equation with positive initial density. Numerical illustrations show that it is first order accurate in both time and space, and robust with respect to both the energy and the initial profile.

研究动机与目标

• 开发一种针对PDE中出现的Wasserstein梯度流（如Fokker-Planck方程和多孔介质方程）的鲁棒、结构保持型数值格式。
• 通过先离散化后优化的方法，在离散层面保持连续模型的变分结构。
• 确保对一大类凸能量函数，离散格式具有非负性与能量衰减特性。
• 证明当初始密度为正时，该格式对线性Fokker-Planck方程具有收敛性。
• 在多种物理情景下的数值实验中，展示该格式的鲁棒性与一阶精度。

提出的方法

• 时间离散化基于JKO半离散化，通过Benamou-Brenier动态公式将问题重述为涉及Wasserstein距离的最小化问题。
• 空间离散化采用有限体积法，结合上游迁移率两点通量近似，以处理对流主导的流动。
• 该格式源自一个包含前向连续性方程与后向Hamilton-Jacobi方程的对偶鞍点问题，进而导出一个平均场博弈系统。
• 在质量守恒约束下最小化离散能量，通过在对偶变量（Hamilton-Jacobi势）上进行定点迭代求解对偶问题。
• 该方法对任意凸能量函数均保证唯一可解性，并通过离散化的Benamou-Brenier公式保持变分结构。
• 该格式采用在非结构化网格上的分段常数有限体积格式实现，对偶变量通过迭代方式更新以满足最优性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种有限体积格式，使其在离散层面上保持Wasserstein梯度流的变分结构？
• RQ2 所提出的格式是否能对一般凸能量函数保证离散非负性与能量衰减？
• RQ3 当初始密度为正时，该格式是否对线性Fokker-Planck方程具有收敛性？
• RQ4 该格式在时间和空间上的收敛速率是多少？其对不同初始分布和能量泛函的鲁棒性如何？
• RQ5 该格式能否推广至系统方程，如模拟含水层中盐度入侵的系统？

主要发现

• 该格式对任意凸能量泛函均保证唯一解，确保了无论能量类型如何，数值计算均具有稳定性。
• 对于线性Fokker-Planck方程，当时间步长与网格尺寸趋于零时，该格式收敛至连续问题的弱解。
• 数值结果表明，该格式在时间和空间上均呈现一阶收敛性，且在网格细化与时间步长减小时收敛曲线更加平滑。
• 与标准有限体积格式相比，该格式的能量耗散更快，这与其设计目标一致——在每一步均最大化能量衰减。
• 随着网格细化与时间步长减小，该格式的能量耗散趋近于连续系统的实际耗散。
• 该格式成功模拟了复杂的物理现象，如多孔介质方程与盐度入侵，即使对这些系统尚未证明理论收敛性。