[论文解读] A Variational Formula for the Lyapunov Exponent of Brownian Motion in Stationary Ergodic Potential

Johannes Rueß|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文为非紧致域中平稳遍历非负势场下布朗运动的李雅普诺夫指数建立了变分公式，将施罗德在周期情形下的结果推广至非紧致情形。关键贡献在于提出一个变分表达式，用于表征格林函数的指数衰减速率，从而实现随机势场与平均势场的比较，并导出随机自由能的变分公式。

ABSTRACT

We establish a variational formula for the exponential decay rate of the Green function of Brownian motion evolving in a random stationary and ergodic nonnegative potential. Such a variational formula is established by Schroeder in 'Green's Functions for the Schrödinger Operator with Periodic Potential', J. Funct. Anal. 77 (1988), for potentials on compact spaces and is generalised in the present article to a non-compact setting. We show exponential decay of the Green function implicitly. This formula for the Lyapunov exponent has several direct implications. It allows to compare the influence of a random potential to the influence of the averaged potential. It also leads to a variational expression for the quenched free energy.

研究动机与目标

• 将施罗德在周期情形下对李雅普诺夫指数的变分公式推广至非紧致域中的平稳遍历势场。
• 通过变分表征而非次可加性方法，建立李雅普诺夫指数的存在性。
• 为随机薛定谔算符的 quenched 自由能提供一个变分表达式。
• 利用泛函分析工具，表征被速率 $V_\omega$ 杀死的布朗运动的格林函数的指数衰减速率。

提出的方法

• 通过将施罗德的方法扩展至非紧致、平稳遍历势场，推导出李雅普诺夫指数的变分公式。
• 利用向量场的威尓分解（solenoidal 与势场分量）分析格林函数的衰减行为。
• 在 $L^2$ 空间中应用泛函分析技术，包括稠密性论证及在 $\mathbb{D}$ 中用光滑函数逼近。
• 通过卷积逼近与截断构造相关函数空间中光滑紧支集向量场的稠密子集。
• 在变分类中利用向量场的无散结构，以确保与底层随机动力系统的一致性。
• 依赖势场的遍历性与平稳性，以保证李雅普诺夫指数在样本路径上几乎必然为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非紧致、平稳遍历设定下建立李雅普诺夫指数的变分公式，从而推广施罗德在周期情形下的结果？
• RQ2 与平均势场相比，随机势场如何影响格林函数的衰减速率？
• RQ3 在此背景下，李雅普诺夫指数与 quenched 自由能之间存在何种关系？
• RQ4 如何利用向量场的无散分量与势场分量来表征格林函数的指数衰减？

主要发现

• 李雅普诺夫指数 $\alpha_V(y)$ 几乎必然存在，且对所有 $y \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 为常数，定义为极限 $\lim_{r\to\infty} -\frac{1}{r}\ln g(0,ry,\omega)$。
• 建立了李雅普诺夫指数的变分公式，将施罗德在周期情形下的结果推广至平稳遍历势场。
• 格林函数表现出确定性的指数衰减，其衰减速率由概率密度与无散向量场构成的变分表达式表征。
• quenched 自由能可通过李雅普诺夫指数公式导出变分表达式。
• 无散向量场空间 $Y_{\mathrm{sol}}$ 在 $\mathcal{V}_{\mathrm{sol}}$ 中稠密，确保了变分公式的有效性。
• 构造过程依赖于卷积与截断在 $L^2$ 与 $H^1$-范数下的逼近，证实了光滑紧支集向量场在相关函数空间中的稠密性。