[论文解读] A Vertex-Weighted Tutte Symmetric Function, and Constructing Graphs with Equal Chromatic Symmetric Function

Logan Crew, Sophie Spirkl|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 41被引用 8

一句话总结

本文引入了一种顶点加权的Tutte对称函数 XB，该函数推广了色数对称函数，并满足删除-收缩关系。它提供了生成树和生成森林的展开式，并提出了非同构图具有相同色数对称函数的新构造方法——这是首次发现无法被Tutte对称函数区分的非同构图实例。

ABSTRACT

This paper has two main parts. First, we consider the Tutte symmetric function $XB$, a generalization of the chromatic symmetric function. We introduce a vertex-weighted version of $XB$ and show that this function admits a deletion-contraction relation. We also demonstrate that the vertex-weighted $XB$ admits spanning-tree and spanning-forest expansions generalizing those of the Tutte polynomial by connecting $XB$ to other graph functions. Second, we give several new methods for constructing nonisomorphic graphs with equal chromatic symmetric function, and provide the first examples of nonisomorphic graphs that are not distinguished by the Tutte symmetric function.

研究动机与目标

• 通过顶点加权的Tutte对称函数 XB 推广色数对称函数，扩展其代数与组合性质。
• 为顶点加权的 XB 建立删除-收缩关系，以支持递归计算与更深层次的结构分析。
• 推导 XB 的生成树与生成森林展开式，推广经典Tutte多项式恒等式。
• 发展新的组合方法，用于构造具有相同色数对称函数的非同构图。
• 提供首个明确的非同构图实例，这些图在Tutte对称函数下无法区分。

提出的方法

• 通过在标准Tutte对称函数中引入顶点权重，定义顶点加权的Tutte对称函数 XB。
• 通过顶点加权图的分解方法，证明 XB 满足类似于Tutte多项式的删除-收缩关系。
• 通过利用加权图不变量与生成函数，推导 XB 的生成树与生成森林展开式。
• 利用对称性与权重分配，构造新的非同构图家族，使其具有相同的色数对称函数。
• 利用 XB 的结构，识别出在Tutte对称函数下无法区分的图对，尽管它们并非同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持关键代数性质的前提下，将Tutte对称函数推广为包含顶点权重的形式？
• RQ2 顶点加权的Tutte对称函数具有哪些删除-收缩恒等式？
• RQ3 顶点加权的 XB 是否可以推广其生成树与生成森林展开式？它们与已知图多项式有何关联？
• RQ4 哪些新的组合构造方法能够产生具有相同色数对称函数的非同构图？
• RQ5 是否存在无法被Tutte对称函数区分的非同构图？若存在，如何构造它们？

主要发现

• 顶点加权的Tutte对称函数 XB 满足删除-收缩关系，支持递归计算与结构分析。
• XB 具备推广经典Tutte多项式恒等式的生成树与生成森林展开式。
• 本文构造了新的非同构图家族，其色数对称函数相同，扩展了已知的构造技术。
• 首次提供了在Tutte对称函数下无法区分的非同构图的明确实例。
• 顶点加权的 XB 函数作为一个统一框架，通过加权图分解将色数对称函数、Tutte多项式与图不变量联系起来。