[论文解读] Adelic line bundles on quasi-projective varieties

Xinyi Yuan, Shou-Wu Zhang|arXiv (Cornell University)|May 28, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 72被引用 9

一句话总结

本文将adelic线丛理论从数域上的射影概形推广到有限生成域上的拟射影概形，建立了交点理论、体积、高度以及等分布定理。它在这些域上的阿贝尔簇上引入了规范的Néron–Tate高度，并证明了普遍的Hodge指标定理与小点的等分布性，推广了算术几何中的经典结果。

ABSTRACT

In this book, we establish a theory of adelic line bundles over quasi-projective varieties over finitely generated fields. Besides definitions of adelic line bundles, we consider their intersection theory, volume theory, and height theory, and apply these to study heights of algebraic points of quasi-projective varieties.

研究动机与目标

• 将Zhang的adelic线丛理论从数域上的射影概形推广至有限生成域上的拟射影概形。
• 为拟射影概形上的adelic线丛发展交点理论与体积理论。
• 在有限生成基域上的阿贝尔簇上定义规范高度，推广Néron–Tate高度。
• 在数域上的拟射影概形上建立小点的等分布定理。
• 在该推广设定下证明一个普遍的Hodge指标定理，推广Faltings与Hriljac的结果。

提出的方法

• 利用Berkovich解析空间与度量线丛，在有限生成域上的拟射影概形上引入adelic线丛。
• 构造adelic线丛的Deligne配对，并证明其正性与函子性。
• 通过Berkovich解析化，将adelic除子与线丛解释为解析空间上的度量线丛。
• 应用受限解析空间与局部度量的理论，定义全局交点数。
• 在$X \times_S J$上构造一个普遍的$\rceil$-线丛$Q$，满足$[m]^*Q = mQ$，用于定义高度函数。
• 通过$\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$建立高度配对，并证明其二次性与整数值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有限生成域上的拟射影概形上定义adelic线丛，并发展其交点理论？
• RQ2 能否将阿贝尔簇上的Néron–Tate高度推广至有限生成基域的情形？
• RQ3 在该推广设定下，数域上拟射影概形的小点是否满足等分布定理？
• RQ4 在相对雅可比簇上，度数为零的线丛的高度配对结构为何？
• RQ5 能否为高维基上的adelic线丛建立一个普遍的Hodge指标定理？

主要发现

• 本文在相对雅可比簇上构造了一个规范的adelic线丛$\bar{M}_0$，使得$\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$，推广了Néron–Tate高度。
• 证明了高度配对满足$\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$，且$\bar{\frak{h}}$为二次型，取值于$\rceil\text{Pic}(S/k)_{\rceil,\text{nef}}$。
• 在$X \times_S J$上的普遍线丛$\bar{Q}$满足$[2]^*\bar{Q} = 2\bar{Q}$，并通过拉回诱导高度配对。
• Hodge指标定理被推广：$p_{2*}\big\rangle\bar{Q},\bar{Q}\big\rangle = -\bar{\theta}$在$\rceil\text{Pic}(J/k)_{\rceil}$中成立。
• 在数域上的拟射影概形上，小点的等分布定理得以建立，推广了Szpiro–Ullmo–Zhang与Yuan的结果。
• 证明了高度配对$\bar{\frak{h}}$在$\text{Pic}^0(X/S)$上是单射，取值于$\rceil\text{Pic}(S/k)_{\rceil,\text{nef}}$，且满足$\bar{\frak{h}}(M) = -\frac{1}{2} \bar{\frak{h}}_{\bar{\theta}}(M)$。