[论文解读] Gauge Theory, Ramification, And The Geometric Langlands Program

Sergei Gukov, Edward Witten|ArXiv.org|Dec 8, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用 70

一句话总结

本文通过在${\cal N}=4$超杨–米尔斯理论中引入表面算符来描述驯服分歧，将规范理论方法扩展至几何朗兰兹纲领，表明$S$-对偶性作用于其参数，并自然地推广了几何朗兰兹对应。关键贡献在于在分歧希格斯丛的模空间的上同调与叠上实现了仿射韦伊群和仿射辫群的作用。

ABSTRACT

In the gauge theory approach to the geometric Langlands program, ramification can be described in terms of ``surface operators,'' which are supported on two-dimensional surfaces somewhat as Wilson or 't Hooft operators are supported on curves. We describe the relevant surface operators in N=4 super Yang-Mills theory, and the parameters they depend on, and analyze how S-duality acts on these parameters. Then, after compactifying on a Riemann surface, we show that the hypothesis of S-duality for surface operators leads to a natural extension of the geometric Langlands program for the case of tame ramification. The construction involves an action of the affine Weyl group on the cohomology of the moduli space of Higgs bundles with ramification, and an action of the affine braid group on A-branes or B-branes on this space.

研究动机与目标

• 将几何朗兰兹纲领的规范理论表述扩展至包含驯服分歧的情形。
• 在${\cal N}=4$超杨–米尔斯理论中定义并表征编码对应于分歧的codimension-two奇点的表面算符。
• 分析$S$-对偶性如何作用于这些表面算符的参数。
• 通过在黎曼曲面上紧化，建立规范理论数据与分歧情形下几何朗兰兹对应之间的对应关系。
• 识别仿射韦伊群与仿射辫群在分歧希格斯丛模空间的上同调与叠上的作用。

提出的方法

• 在${\cal N}=4$超杨–米尔斯理论中引入表面算符作为具有特定奇点的codimension-two缺陷，类比于威尔逊算符和't Hooft算符。
• 通过$(\alpha, \beta, \gamma, \eta)$参数化这些表面算符，分别对应电通量、磁通量和单值性数据。
• 提出$S$-对偶性对这些参数的作用，推广已知的无分歧情形下的对偶性。
• 将4维理论在黎曼曲面$\Sigma$上紧化，约化为具有分歧希格斯丛模空间作为目标的2维sigma模型。
• 分析分歧希格斯丛模空间的上同调，并识别仿射韦伊群的作用。
• 将此扩展至在模空间的导出范畴中$A$-与$B$-叠上的仿射辫群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在规范理论算符的术语中实现几何朗兰兹纲领中的分歧？
• RQ2 在${\cal N}=4$ SYM中描述驯服分歧的表面算符的精确形式是什么？
• RQ3 $S$-对偶性如何作用于这些表面算符的参数？
• RQ4 仿射韦伊群与仿射辫群在分歧希格斯丛模空间的上同调与叠结构中扮演什么角色？
• RQ5 ${\cal N}=4$ SYM在黎曼曲面上的紧化如何实现包含分歧的扩展几何朗兰兹对应？

主要发现

• ${\cal N}=4$ SYM中的表面算符为几何朗兰兹纲领中驯服分歧提供了规范理论实现。
• 这些表面算符的参数$(\alpha, \beta, \gamma, \eta)$在$S$-对偶性下变换的方式推广了无分歧情形下的已知对偶性。
• 分歧希格斯丛模空间的上同调携带仿射韦伊群的作用，该作用源于具有奇点的希金系统几何。
• 分歧希格斯丛模空间的导出范畴在$A$-与$B$-叠上携带仿射辫群的作用，从而扩展了几何朗兰兹对应。
• 对于$G_2$和$F_4$，群与其对偶之间的$S$-对偶同构通过一个旋转与缩放映射${{R}}$实现，该映射被纳入对偶作用中。
• 该构造自然地将几何朗兰兹对应推广至驯服分歧的情形，与贝祖克拉夫尼克的仿射辫群工作等数学进展一致。