[论文解读] Quantization of the Hitchin moduli spaces, Liouville theory, and the geometric Langlands correspondence I

J. Teschner|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用 21

一句话总结

本文通过双参数形变与量化程序，建立了一个统一框架，将Hitchin模空间的量化、Liouville共形场论与几何Langlands对应联系起来。它表明Liouville理论作为量化Hitchin系统的极限，通过量子超凯勒旋转实现，从而通过对偶共形Toda场论与模函子，实现了Langlands对偶的物理与几何实现。

ABSTRACT

We discuss the relation between Liouville theory and the Hitchin integrable system, which can be seen in two ways as a two step process involving quantization and hyperkaehler rotation. The modular duality of Liouville theory and the relation between Liouville theory and the SL(2)-WZNW-model give a new perspective on the geometric Langlands correspondence and on its relation to conformal field theory.

研究动机与目标

• 阐明Hitchin模空间的量化、Liouville理论与几何Langlands对应之间的关系。
• 解释Liouville理论如何通过包含形变与量化的两步过程，作为量化Hitchin系统的极限出现。
• 通过双重共形Toda理论与模函子，建立Langlands对偶的物理与几何实现。
• 将Liouville理论与量子Teichmüller空间之间的联系推广至高阶李群及其Langlands对偶。
• 利用Hitchin系统的双参数形变，统一描绘AGT对应、S对偶与几何Langlands对应。

提出的方法

• 利用参数为 $\epsilon_1 = \hbar b$ 与 $\epsilon_2 = \hbar / b$ 的Hitchin系统的双参数形变，实现经典与量子 regimes 之间的插值。
• 应用超凯勒旋转，将Hitchin模空间与Fuchsian等单值变形联系起来，从而关联到经典Liouville理论。
• 通过Yang势对Hitchin系统进行量化，得到作为 $\epsilon_2 \to 0$ 形变极限的量子Hitchin系统。
• 引入量子超凯勒旋转作为对偶操作，将量化Hitchin系统映射至Liouville理论。
• 从Toda理论块构造 $W_k(\mathfrak{g})$-代数的共形块，将 $\mathfrak{sl}_2$ 情况推广至高阶李代数。
• 通过关系式 $(k+h^\vee)r^\vee = (\check{k}+\check{h}^\vee)^{-1}$ 建立 $\mathsf{Toda}_k(\mathfrak{g})$ 与 $\mathsf{Toda}_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ 之间的对偶性，并证明 $W_k(\mathfrak{g}) \simeq W_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hitchin系统的双参数形变如何与 $\epsilon_2 \to 0$ 极限下Liouville理论的出现相关？
• RQ2 量子超凯勒旋转在连接量化Hitchin系统与Liouville理论中起何种精确作用？
• RQ3 在Langlands对偶下，$\mathsf{Toda}_k(\mathfrak{g})$ 与 $\mathsf{Toda}_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ 的共形块之间有何关系？
• RQ4 能否利用此框架证明高阶量子Teichmüller空间的模函子猜想？
• RQ5 此构造如何通过双重WZNW模型与双重Toda理论实现几何Langlands对应？

主要发现

• Liouville理论作为量化Hitchin系统的极限，通过量子超凯勒旋转实现，其中 $\epsilon_2 \to 0$ 极限恢复经典Liouville作用量。
• 双参数瞬子划分函数 $\mathcal{Z}(a,\epsilon_1,\epsilon_2;q)$ 被识别为Liouville共形块，推广了AGT对应。
• 在对偶关系 $(k+h^\vee)r^\vee = (\check{k}+\check{h}^\vee)^{-1}$ 下，W代数 $W_k(\mathfrak{g})$ 与 $W_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ 同构，证实了双重Toda理论。
• 从 $\mathsf{Toda}_k(\mathfrak{g})$ 块构造出 $\mathsf{WZNW}_k(\mathfrak{g})$ 与 $\mathsf{WZNW}_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ 的共形块，建立了对偶链。
• 几何Langlands对应通过形变/量化图中的双重路径实现，两条路径均收敛至同一Toda理论极限。
• 该框架将 $\mathfrak{sl}_2$ 情况推广至高阶群，暗示通过双重共形场论与模函子实现完整的量子几何Langlands对应。