[论文解读] Affine Hecke algebras and the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda

Eric Opdam|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 47被引用 3

一句话总结

本文證明了 Hiraga、Ichino 和 Ikeda 對於在無瑕擴張上分裂的連通半單 $p$-進李群中，具有幂零還原性的溫和表示之 Plancherel 密度的猜想。透過無瑕仿射 Hecke 代數之間的譜傳遞映射與 Lusztig 的分類，本文以 $L$-函數與 $\boldsymbol{\epsilon}$-因子表示形式度公式，確認了在一般半單群中，猜想僅相差有理數常數因子。

ABSTRACT

Hiraga, Ichino and Ikeda have conjectured an explicit expression for the Plancherel density of the group of points of a reductive group defined over a local field $F$, in terms of local Langlands parameters. In these lectures we shall present a proof of these conjectures for Lusztig's class of representations of unipotent reduction if $F$ is $p$-adic and $G$ is of adjoint type and splits over an unramified extension of $F$. This is based on the author's paper [Spectral transfer morphisms for unipotent affine Hecke algebras, Selecta Math. (N.S.) 22 (2016), no. 4, 2143--2207]. More generally for $G$ connected reductive (still assumed to be split over an unramified extension of $F$), we shall show that the requirement of compatibility with the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda essentially determines the Langlands parameterisation for tempered representations of unipotent reduction. We shall show that there exist parameterisations for which the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda hold up to rational constant factors. The main technical tool is that of spectral transfer maps between normalised affine Hecke algebras used in op. cit.

研究动机与目标

• 將 Hiraga–Ichino–Ikeda 對 Plancherel 密度的猜想證明擴展至所有連通半單 $p$-進群，不僅限於基本群。
• 顯示與猜想的相容性基本上可唯一確定具有幂零還原性的溫和表示之 Langlands 參數化。
• 為此類表示建立以 $L$-函數與 $\boldsymbol{\epsilon}$-因子表示的猜想形式度公式。
• 展示在無瑕擴張上分裂的半單群中，所有具有幂零還原性的溫和表示之猜想僅相差有理數常數因子時成立。

提出的方法

• 利用透過 Lusztig 分類與 Iwahori-Matsumoto 對偶性構造的歸一化仿射 Hecke 代數之間的譜傳遞映射（STMs）。
• 應用無瑕仿射 Hecke 代數及其 Bernstein 中心理論，分析 Plancherel 測度與跡泛函。
• 運用從仿射 Hecke 代數的譜分解中導出的形式度公式。
• 使用剩餘陪集與變形技術，計算離散系列表示的 Plancherel 密度 $d_{\boldsymbol{\mathcal{H}},\delta}$。
• 透過分析中心特徵與 $\mathcal{S}$-群，建立 Langlands 參數與猜想之間的相容性。
• 利用同構 $\eta: H \to G$ 下 STMs 的等變性，將問題簡化為半單與非迷向群的幾乎直接積。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hiraga–Ichino–Ikeda 對於在連通半單 $p$-進群中具有幂零還原性的所有溫和表示之 Plancherel 密度猜想是否成立？
• RQ2 此類表示之 Langlands 參數化能否由與猜想形式度公式相容性唯一確定？
• RQ3 在一般半單情形下，猜想在多大程度上僅相差有理數常數因子成立？
• RQ4 無瑕仿射 Hecke 代數之間的譜傳遞映射如何促進猜想的證明？
• RQ5 剩餘陪集與變形技術在計算離散系列表示之 Plancherel 測度中扮演何種角色？

主要发现

• Hiraga、Ichino 和 Ikeda 的猜想對在無瑕擴張上分裂的連通半單 $p$-進群中所有具有幂零還原性的溫和表示成立。
• 溫和表示 $\pi_\rho$ 的形式度為 $\textup{fdeg}(\pi_\rho) = \frac{\dim(\rho)}{|\mathcal{S}^\natural_\varphi|} |\gamma(0, \textup{Ad} \circ \varphi, \psi)|$，僅相差有理數常數因子。
• 無瑕仿射 Hecke 代數之間的譜傳遞映射提供了一種自然方式，以在同構群之間關聯 Langlands 參數，確保猜想在同構下的一致性。
• 對於基本型群，猜想精確成立，確認了文獻中先前的結果。
• 透過 cuspidal unipotent 表示構造 STM，確保參數化與 Plancherel 測度及中心特徵相容。
• 主要結果，定理 4.5.1，確立了在一般半單群中所有具有幂零還原性的溫和表示之猜想僅相差有理數常數因子。