[论文解读] Affine Hecke algebras for Langlands parameters

Anne‐Marie Aubert, Ahmed Moussaoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 57被引用 22

一句话总结

本文为 $p$-进群的增强朗兰兹参数的伯恩斯坦分量构造了仿射赫克代数，建立了其不可约表示与朗兰兹参数之间的典范双射。证明了温带或平方可积表示对应于预期的参数类型，且对于许多群，所构造的代数与经典伯恩斯坦块赫克代数具有莫里塔等价性，推广了吕斯蒂格对幂零表示的工作。

ABSTRACT

It is well-known that affine Hecke algebras are very useful to describe the smooth representations of any connected reductive p-adic group G, in terms of the supercuspidal representations of its Levi subgroups. The goal of this paper is to create a similar role for affine Hecke algebras on the Galois side of the local Langlands correspondence. To every Bernstein component of enhanced Langlands parameters for G we canonically associate an affine Hecke algebra (possibly extended with a finite R-group). We prove that the irreducible representations of this algebra are naturally in bijection with the members of the Bernstein component, and that the set of central characters of the algebra is naturally in bijection with the collection of cuspidal supports of these enhanced Langlands parameters. These bijections send tempered or (essentially) square-integrable representations to the expected kind of Langlands parameters. Furthermore we check that for many reductive p-adic groups, if a Bernstein component B for G corresponds to a Bernstein component B^\vee of enhanced Langlands parameters via the local Langlands correspondence, then the affine Hecke algebra that we associate to B^\vee is Morita equivalent with the Hecke algebra associated to B. This constitutes a generalization of Lusztig's work on unipotent representations. It might be useful to establish a local Langlands correspondence for more classes of irreducible smooth representations.

研究动机与目标

• 将仿射赫克代数在朗兰兹纲领的自守侧的角色扩展到伽罗瓦侧，特别针对增强朗兰兹参数。
• 建立新构造的仿射赫克代数的不可约表示与增强朗兰兹参数的伯恩斯坦分量中成员之间的典范对应关系。
• 验证该构造保持关键的表示论性质，如温带性与平方可积性。
• 检查对于许多 $p$-进群，该新代数与相应伯恩斯坦块的典型赫克代数具有莫里塔等价性，从而实现局部朗兰兹对应范畴化。

提出的方法

• 对于每个增强朗兰兹参数的伯恩斯坦分量 $\mathfrak{B}^\vee$，作者通过扭曲的分次赫克代数构造法，构造一个仿射赫克代数（可能附加有限 $R$-群）。
• 该构造利用参数 $\phi$ 在惯性群 $\mathbf{I}_F$ 上的中心化子，并通过识别根系 $R(J^\circ, T)$ 来定义外尔群与根系数据。
• 参数 $\lambda(\alpha)$ 与 $\lambda^*(\alpha)$ 通过 $\phi$ 的分量的 $t$-不变量定义，这些参数决定了赫克代数的结构常数。
• 通过设定 $\vec{\mathbf{z}} = q_F^{1/2}$ 对代数进行特化，得到每个单个反射的二次关系 $(N_{s_\alpha} - q_F^{a})(N_{s_\alpha} + q_F^{-a}) = 0$。
• 作者使用卡兹丹–吕斯蒂格参数化方法，将所得表示与已知的分类结果进行比较。
• 在 $\mathrm{GL}_n(F)$、$\mathrm{SL}_n(F)$ 以及经典群等情形下，验证了所构造代数与经典赫克代数 $\mathcal{H}(\mathcal{G}(F))^\mathfrak{s}$ 的莫里塔等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为每个增强朗兰兹参数的伯恩斯坦分量构造一个典范仿射赫克代数，使得其不可约表示与该分量中的参数形成双射？
• RQ2 该对应关系是否保持表示的性质——例如，温带或平方可积参数是否对应于代数中的温带或平方可积表示？
• RQ3 所构造的仿射赫克代数是否与相应伯恩斯坦块在自守侧的经典赫克代数具有莫里塔等价性？
• RQ4 该构造能否将吕斯蒂格关于幂零表示的结果推广到更广泛的 $p$-进群类？
• RQ5 赫克代数的代数结构是否反映了朗兰兹参数的几何与算术数据，如 $t$-不变量与根系？

主要发现

• 所构造仿射赫克代数的不可约表示自然地与增强朗兰兹参数的伯恩斯坦分量中的成员形成双射。
• 该代数的中心特征标集合自然地与增强朗兰兹参数的极大紧支化（cuspidal support）形成双射。
• 该代数中的温带或（本质）平方可积表示恰好对应于温带或（本质）平方可积的朗兰兹参数。
• 对于 $\mathrm{GL}_n(F)$、$\mathrm{SL}_n(F)$ 以及经典群的纯内自同构，所构造的代数与相应伯恩斯坦块的经典赫克代数具有莫里塔等价性。
• 在 $\mathcal{G} = \mathrm{GL}_4(F)^2 \times \mathrm{GL}_1(F)^3 \times \mathrm{SO}_{37}(F)$ 的例子中，代数具有二次关系 $(N_{s_{\alpha_1}} - q_F^2)(N_{s_{\alpha_1}} + q_F^{-2}) = 0$，$(N_{s_{\alpha_2}} - q_F^3)(N_{s_{\alpha_2}} + q_F^{-3}) = 0$，以及其他根类似的关系，其中指数由 $t$-不变量与 $a$-参数决定。
• 该例中 $R$-群平凡，故 $W_{\mathfrak{s}^\vee} = W_{\mathfrak{s}}^\circ$，外尔群为 $W_{B_2} \times W_{B_3}$。