[论文解读] Affine Schubert calculus and double coinvariants

Erik Carlsson, Alexei Oblomkov|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文在类型 A 的仿射旗流形的等变 Borel-Moore 同调上构造了双余不变代数 $DR_n$ 的作用，证明该作用保持了仿射 Springer 纤维的同调。它在 $DR_n$ 上定义了一个以 $n$ 的组合为指标的滤子，其子商模同构于单变量余不变代数的子模，通过施鲁特类实现，从而得到一个推广 Haglund-Loehr 公式的显式单项基，并独立证明了其双分次 Hilbert 系数。

ABSTRACT

We define an action of the double coinvariant algebra $DR_n$ on the equivariant Borel-Moore homology of the affine flag variety $\widetilde{Fl}_n$ in type $A$, which has an explicit form in terms of the left and right action of the (extended) affine Weyl group and multiplication by Chern classes. Up to first order in the augmentation ideal, we show that it coincides with the action of the Cherednik algebra on the equivariant homology of the homogeneous affine Springer fiber $\widetilde{S}_{n,m} \subset \widetilde{Fl}_n$ due to Yun and the second author, and therefore preserves the non-equivariant Borel-Moore homology groups $H_*(\widetilde{S}_{n,m})\hookrightarrow H_*(\widetilde{Fl}_n)$. We then define a geometric filtration $F_{a} H_*(\widetilde{S}_{n,n+1})=H_*(\widetilde{S}(a))$ by closed subspaces $\widetilde{S}(a)\subset \widetilde{S}_{n,n+1}$, which we prove recovers the Garsia-Stanton descent order on $DR_n$. We use this to deduce an explicit monomial basis of $DR_n$, as well as an independent proof of the (non-compositional) Shuffle Theorem.

研究动机与目标

• 在类型 A 的仿射旗流形 $\tilde{\mathcal{F}l}_n$ 的等变 Borel-Moore 同调上定义双余不变代数 $DR_n$ 的几何作用。
• 证明该作用保持了仿射 Springer 纤维 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$ 的同调，特别是当 $m = n+1$ 时，并诱导同构 $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}) \cong DR_n$。
• 通过以 $n$ 的组合为指标的 $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-子模定义 $DR_n$ 上的滤子，其首项由 $y$-变量中的 Garsia-Stanton 降阶单项式给出。
• 通过 Goresky-Kottwitz-MacPherson 的施鲁特类，显式地将该滤子的子商模表示为单变量余不变代数 $R_n(\mathbf{x})$ 的子模。
• 构造 $DR_n$ 的显式单项基，该基推广了 Haglund-Loehr 公式，并独立证明了其双分次 Hilbert 系数。

提出的方法

• 通过 $x$-变量的对偶陈类算子和 $y$-变量的扩展仿射 Weyl 群的左/右作用，定义 $DR_n$ 在 $H_*(\tilde{\mathcal{F}l}_n)$ 上的作用。
• 证明该作用在增强理想的一阶范围内与 Cherednik 代数在 $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,m})$ 上的作用一致，从而确保保持了仿射 Springer 纤维的同调。
• 通过由满足 $b \leq_{\text{des}} a$ 的单项式 $y^b$ 生成的 $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-子模，定义滤子 $F_a DR_n$，其中 $\leq_{\text{des}}$ 是基于下降集的全序。
• 通过显式依赖于组合 $a$ 的生成元，将子商模 $F_a DR_n / F_{a-1} DR_n$ 与 $R_n(\mathbf{x})$ 的子模识别，利用仿射 Springer 纤维中的施鲁特类。
• 通过 Goresky-Kottwitz-MacPherson 对 $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1})$ 中施鲁特类的描述，建立子商模与 $R_n(\mathbf{x})$ 中相应子模之间的同构，从而得到显式单项基。
• 显式计算子商模的 Hilbert 系数，从而独立证明了 $DR_n$ 的双分次 Hilbert 系数，与 Haglund-Loehr 公式一致：$\sum_{\pi \in PF_n} q^{\operatorname{dinv}(\pi)} t^{\operatorname{area}(\pi)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在类型 A 的仿射旗流形的等变同调上几何地实现双余不变代数 $DR_n$ 的作用？
• RQ2 该作用是否保持了仿射 Springer 纤维 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$ 的同调？若保持，当 $m = n+1$ 时其结构如何？
• RQ3 能否定义一个 $DR_n$ 上的滤子，使得其子商模同构于单变量余不变代数 $R_n(\mathbf{x})$ 的子模？施鲁特类在此构造中起什么作用？
• RQ4 是否存在一个推广 Haglund-Loehr 公式的 $DR_n$ 的单项基，且该基的构造独立于先前结果？
• RQ5 在 $DR_n$ 中 $y$-变量的分次与仿射 Springer 纤维中 Hikita 的统计量之间有何关系？能否使其显式化？

主要发现

• 双余不变代数 $DR_n$ 作用于仿射旗流形 $\tilde{\mathcal{F}l}_n$ 的等变 Borel-Moore 同调上，且该作用保持了所有 $m$ 的仿射 Springer 纤维 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$ 的同调。
• 当 $m = n+1$ 时，通过将 $DR_n$ 的元素作用于基本类 $[\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}]$，该作用诱导出同构 $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}) \cong DR_n$。
• 通过以组合 $a$ 为指标的 $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-子模定义了滤子 $F_a DR_n$，其首项为 Garsia-Stanton 降阶单项式 $g_\tau(y)$，这些单项式已知构成单余不变代数 $R_n(\mathbf{y})$ 的一组基。
• 子商模 $F_a DR_n / F_{a-1} DR_n$ 同构于单变量余不变代数 $R_n(\mathbf{x})$ 的某些子模，其显式生成元依赖于组合 $a$，且这些子模在 $x$-变量中允许显式单项基。
• 子商模的 Hilbert 系数被显式计算，从而独立证明了 $DR_n$ 的双分次 Hilbert 系数，确认了 Haglund-Loehr 公式：$\sum_{\pi \in PF_n} q^{\operatorname{dinv}(\pi)} t^{\operatorname{area}(\pi)}$。
• 该构造解决了长期存在的问题：将 $DR_n$ 中 $y$-变量的分次与 Hikita 在仿射 Springer 纤维中的统计量联系起来，通过证明 $y$-分次精确对应于施鲁特-辛普森类分解中的同调分次。