[论文解读] Affine Yangian action on the Fock space

Ryosuke Kodera|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文建立了仿射 $A_{N-1}^{(1)}$ 向量丛概形的局部化等变同调与一级 Fock 空间之间的显式同构，表明 Yangian $Y_{ar{h}}(rak{sl}_N)$ 与仿射李代数 $ shat{rak{sl}}_N$ 在这两个空间上的作用是相容的。由此，仿射 Yangian $Y_{ar{ ho}}( shat{rak{sl}}_N)$ 通过一个典范基对应自然地作用于 Fock 空间。

ABSTRACT

The localized equivariant homology of the quiver variety of type $A_{N-1}^{(1)}$ can be identified with the level one Fock space by assigning a normalized torus fixed point basis to certain symmetric functions, Jack($\mathfrak{gl}_N$) symmetric functions introduced by Uglov. We show that this correspondence is compatible with actions of two algebras, the Yangian for $\mathfrak{sl}_N$ and the affine Lie algebra $\hat{\mathfrak{sl}}_N$, on both sides. Consequently we obtain affine Yangian action on the Fock space.

研究动机与目标

• 建立仿射 $A_{N-1}^{(1)}$ 向量丛概形的局部化等变同调与一级 Fock 空间之间的典范同构。
• 证明 Yangian $Y_{ar{h}}(rak{sl}_N)$ 与仿射李代数 $ shat{rak{sl}}_N$ 在这两个空间上的作用是相容的。
• 证明联合作用可唯一地延拓为仿射 Yangian $Y_{ar{ ho}}( shat{rak{sl}}_N)$ 在 Fock 空间上的作用。
• 通过归一化的环面固定点基与 Jack($\mathfrak{gl}_N$) 对称函数，给出仿射 Yangian 在 Fock 空间上作用的显式公式。

提出的方法

• 将仿射 $A_{N-1}^{(1)}$ 向量丛概形的局部化等变同调与以分拆为指标的基相联系，对应于环面固定点。
• 在同调中使用归一化的环面固定点基元素，并通过保持范数的映射将其与 Fock 空间中的 Jack($\mathfrak{gl}_N$) 对称函数对应。
• 通过比较两侧 Drinfeld 生成元的显式公式，验证 Yangian $Y_{ar{h}}(rak{sl}_N)$ 作用的相容性。
• 通过参数特化并匹配两侧基上 $x_{i,0}^\pm$、$h_{i,0}$ 的作用，确认与 $ shat{rak{sl}}_N$ 作用的相容性。
• 利用 Varagnolo 与 Uglov 关于 quiver 概形作用与对称函数基的结果，构造同构。
• 通过直接计算仿射 Yangian 中的关系（例如 (5.17)、(5.18)），验证同构的一致性，表明其与基对应一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 Yangian $Y_{ar{h}}(rak{sl}_N)$ 与仿射李代数 $ shat{rak{sl}}_N$ 在 Fock 空间上的作用能否同时实现并被延拓？
• RQ2 是否存在一个典范同构，将仿射 $A_{N-1}^{(1)}$ 向量丛概形的局部化等变同调与 Fock 空间相联系，且保持两种代数作用？
• RQ3 quiver 概形同调中的归一化环面固定点基是否精确对应于 Fock 空间中的 Jack($\mathfrak{gl}_N$) 对称函数？
• RQ4 通过此同构，仿射 Yangian $Y_{ar{ ho}}( shat{rak{sl}}_N)$ 能否被实现为在 Fock 空间上的作用？
• RQ5 以对称函数与 quiver 概形几何为语言，Fock 空间基上仿射 Yangian 作用的精确公式是什么？

主要发现

• 将仿射 $A_{N-1}^{(1)}$ 向量丛概形的局部化等变同调中归一化的环面固定点基元素映射到 Jack($\mathfrak{gl}_N$) 对称函数，定义了一个 $\mathbb{C}(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$-线性等距。
• 该映射是 $Y_{ar{h}}(\frak{sl}_N)$-模同构，通过比较两侧 Drinfeld 生成元的作用得到证实。
• 该映射也是 $\rshat{\frak{sl}}_N$-模同构，通过令 $\varepsilon_1 = -\varepsilon_2$ 特化并匹配 $x_{i,0}^\pm$、$h_{i,0}$ 的作用得到验证。
• 在 Fock 空间上，$Y_{ar{h}}(\frak{sl}_N)$ 与 $\rshat{\frak{sl}}_N$ 的联合作用可唯一地延拓为仿射 Yangian $Y_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\rshat{\frak{sl}}_N)$ 的作用。
• 仿射 Yangian 在 Fock 空间基上的显式作用公式由归一化固定点基到 Jack($\mathfrak{gl}_N$) 对称函数的对应关系给出。
• 该结果为 Nagao 关于量子球面代数作用的结果提供了一个退化类比，为仿射 Yangian 情况建立了平行结果。