[论文解读] Algebra of the infrared and secondary polytopes

Mikhail Kapranov, Maxim Kontsevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过在有限集 A ⊂ ℝ² 中顶点的多面体上引入 L∞-代数结构，利用次级多面体构造，为二维 (2,2) 超对称量子场论中的红外代数建立了一个数学框架。它建立了该代数的 Mauer-Cartan 元素与 Fukaya-Seidel 类别 A∞-形变之间的联系，通过因子化层和 Ed-代数结构，将 Gaiotto-Moore-Witten 形式化推广到高维。

ABSTRACT

We study algebraic structures ($L_\infty$ and $A_\infty$-algebras) introduced by Gaiotto, Moore and Witten in their recent work devoted to certain supersymmetric 2-dimensional massive field theories. We show that such structures can be systematically produced in any number of dimensions by using the geometry of secondary polytopes, esp. their factorization properties. In particular, in 2 dimensions, we produce, out of a polyhedral "coefficient system", a dg-category $R$ with a semi-orthogonal decomposition and an $L_\infty$-algebra $\mathfrak g$. We show that $\mathfrak g$ is quasi-isomorphic to the ordered Hochschild complex of $R$, governing deformations preserving the semi-orthogonal decomposition. This allows us to give a more precise mathematical formulation of the (conjectural) alternative description of the Fukaya-Seidel category of a Kahler manifold endowed with a holomorphic Morse function.

研究动机与目标

• 为 Gaiotto-Moore-Witten 在二维 (2,2) 超对称 QFT 研究中提出的代数结构提供数学基础。
• 通过多面体与次级多面体的对偶语言，将基于网络的 L∞-代数形式化推广到高维。
• 建立 L∞-代数中的 Mauer-Cartan 元素与 Fukaya-Seidel 类别 A∞-形变之间的对应关系。
• 在次级多面体上引入因子化层，作为高维拓扑场论的组合模型。
• 探索在 d 维中将 L∞-代数精化为 Ed-代数的可能性，以扩展构造的普遍性。

提出的方法

• 从有限集 A ⊂ ℝ² 构造次级多面体 Σ(A)，其中顶点对应于 A 的凸包的三角剖分。
• 在 Σ(A) 的链复形上定义一个交换的微分分次代数结构，利用其胞腔链复形满足 d² = 0 的事实。
• 通过 gA 的对偶的对称代数与来自胞腔边界映射的微分，定义在顶点属于 A 的多面体空间 gA 上的 L∞-代数结构。
• 利用包含一个无穷远点的“无限”多面体概念，定义子代数 g_fin 和理想 g_∞，从而实现相对形变框架。
• 通过有向 Hochschild 复形，构造从 g_fin 到 A∞-代数 R∞ 的态射，其中 R∞ 是 g_∞ 的形变。
• 在次级多面体上引入因子化层，作为因子化代数的推广，用于建模高维 TFT，并支持非平凡系数系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过多面体与次级多面体的对偶语言重新解释 [GMW] 中网络的 L∞-代数？
• RQ2 该 L∞-代数结构中的微分的几何起源是什么？为何在此设定下 d² = 0 天然成立？
• RQ3 无穷远点（代表半平面选择）的存在如何自然地诱导出 L∞-代数形变上的 A∞-结构？
• RQ4 该构造能否通过 Ed-代数结构和因子化层推广到高维？
• RQ5 模空间 Mζ(φ) 的紧化在实现类似于次级多面体的因子化与分层结构中起什么作用？

主要发现

• gA 上的 L∞-代数结构自然源于次级多面体 Σ(A) 的胞腔链复形，由于该复形的拓扑性质，确保了 d² = 0。
• 在一维情况下，L∞-代数可被提升为 A∞-代数，从而解释了 [GMW] 中的第二种构造是顶点线性顺序的结果。
• 当引入无穷远点时，L∞-代数分裂为子代数 g_fin 和理想 g_∞，其中 g_fin 作用于 R∞，即 g_∞ 的形变 A∞-代数。
• 在平凡系数情况下，构造了从 g_fin 到 R∞ 的 Hochschild 复形的态射，并通过 Σ(A) 上的因子化层将其推广到非平凡系数。
• ζ-瞬子的模空间 Mζ(φ) 具有紧化结构，其分层同构于 Mζ(ψν) 的乘积，与次级多面体的因子化与分层结构相呼应。
• 普遍性定理建立了从 L∞-代数 g 到 R∞ 的 Hochschild 复形的拟同构 Φ，预期在高维中可进一步精化为 Ed-代数之间的态射。