[论文解读] Algorithmic Causal Sets and the Wolfram Model

Jonathan Gorard|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用 5

一句话总结

本文通過證明Wolfram模型的超圖重寫系統為因果集提供了算法動力學，建立了因果集理論與Wolfram模型之間的正式對應關係。它表明Wolfram模型中的因果不變性意味著所導出的因果序具有共形不變性，並顯示了因果集理論中的關鍵構造——如Benincasa-Dowker作用量與順序增長動力學——作為Wolfram模型演化的特例，同時利用底層超圖結構改進了類空距離的估計。

ABSTRACT

The formal relationship between two differing approaches to the description of spacetime as an intrinsically discrete mathematical structure, namely causal set theory and the Wolfram model, is studied, and it is demonstrated that the hypergraph rewriting approach of the Wolfram model can effectively be interpreted as providing an underlying algorithmic dynamics for causal set evolution. We show how causal invariance of the hypergraph rewriting system can be used to infer conformal invariance of the induced causal partial order, in a manner that is provably compatible with the measure-theoretic arguments of Bombelli, Henson and Sorkin. We then illustrate how many of the local dimension estimation algorithms developed in the context of the Wolfram model may be reformulated as generalizations of the midpoint scaling estimator on causal sets, and are compatible with the generalized Myrheim-Meyer estimators, as well as exploring how the presence of the underlying hypergraph structure yields a significantly more robust technique for estimating spacelike distances when compared against several standard distance and predistance estimator functions in causal set theory. We finally demonstrate how the Benincasa-Dowker action on causal sets can be recovered as a special case of the discrete Einstein-Hilbert action over Wolfram model systems (with ergodicity assumptions in the hypergraph replaced by Poisson distribution assumptions in the causal set), and also how both classical and quantum sequential growth dynamics can be recovered as special cases of Wolfram model multiway evolution with an appropriate choice of discrete measure.

研究动机与目标

• 建立因果集理論與Wolfram模型的超圖重寫形式主義之間的正式數學關係。
• 證明Wolfram模型中的因果不變性會導致所導出的因果偏序具有共形不變性，且與Bombelli、Henson與Sorkin的測度理論結果相容。
• 表明Wolfram模型中的局部維度估計技術可推廣為中點縮放估計器，並在類空距離估計上優於標準因果集方法。
• 將Benincasa-Dowker作用量與經典/量子順序增長動力學作為Wolfram模型中離散愛因斯坦-希爾伯特作用量與多路演化的特例來恢復。
• 為未來在兩種形式主義之間進行維度估計、曲率、距離函數與邊界項的比較研究奠定基礎。

提出的方法

• 使用超圖重寫系統算法化生成因果集，因果不變性確保在不同重寫序列下因果序演化的穩定性。
• 透過粗粒化方法，利用有界度數的因果網絡近似非緊緻的未來指向類時向量的雙曲面。
• 將Wolfram模型因果網絡中的測地球與測地錐維度估計方法重新表述為因果集理論中中點縮放估計器的推廣。
• 在Wolfram模型的超圖與因果網絡上應用Ollivier-Ricci曲率，並設置常數標量場φ，使Benincasa-Dowker作用量成為離散愛因斯坦-希爾伯特作用量的一種特例。
• 透過選擇適當的離散測度並應用Bell因果性約束，從Wolfram模型的多路系統中推導出經典與量子順序增長動力學。
• 將因果多路系統中的Bell因果性重新表述為僅依賴於局部連接的分支圖頂點的路徑權重條件，確保與因果結構的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Wolfram模型的超圖重寫動力學能否被解釋為因果集演化的算法動力學？
• RQ2 Wolfram模型中的因果不變性是否意味著所導出的因果偏序具有共形不變性，且與因果集理論中Poisson隨機撒點的測度理論結果相容？
• RQ3 Wolfram模型中的局部維度估計算法能否推廣自中點縮放估計器，並與廣義Myrheim-Meyer估計器相容？
• RQ4 Wolfram模型中底層超圖結構是否能提供比標準因果集方法中預距離函數更穩健的類空距離估計？
• RQ5 Benincasa-Dowker作用量與經典/量子順序增長動力學能否作為Wolfram模型中離散愛因斯坦-希爾伯特作用量與多路演化的特例被恢復？

主要发现

• Wolfram模型超圖重寫系統中的因果不變性意味著所導出的因果偏序具有共形不變性，且此關係可嚴謹證明與Bombelli、Henson與Sorkin關於Poisson撒點因果集中洛侖茲不變性的測度理論論證相容。
• Wolfram模型因果網絡中的測地球與測地錐維度估計方法可推廣為中點縮放估計器，且與基於k-鏈豐度的廣義Myrheim-Meyer全局維度估計器相容。
• 超圖結構使類空距離的估計更具魯棒性，優於因果集理論中標準的預距離函數，表現優於Brightwell、Gregory、Rideout與Wallden的方法。
• 當將弱遍歷性假設替換為均勻Poisson分佈假設時，因果集上的Benincasa-Dowker作用量可作為Wolfram模型中離散愛因斯坦-希爾伯特作用量的一種特例被恢復。
• 透過適當選擇離散測度並應用Bell因果性約束，因果集的經典與量子順序增長動力學可作為Wolfram模型多路演化的特例被恢復。
• 因果多路系統中的Bell因果性被重新表述為僅依賴於局部連接分支圖頂點的路徑權重條件，確保與因果結構的一致性，並實現與經典與量子動力學的正式連結。