[论文解读] Almost Envy Freeness and Welfare Efficiency in Fair Division with Goods or Bads

Martin Aleksandrov|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文引入了公平分配中坏物（不受欢迎物品）的新公平性概念——1EF 和 XEF，将其推广至现有商品的代理公平性（如 EF1 和 EFX）。提出新型算法（Lipton–、leximax–、Alg-Identical–），在可加性和相同估值下实现近乎无 envy 的分配，并实现福利效率（帕累托效率、纳什福利、平等福利）。证明了在相同估值下，最大化纳什福利可得到 XEF 和 PE 分配；同时，也建立了在反单调估值下无法同时实现 1EF 与效率的不可能性结果。

ABSTRACT

We consider two models of fair division with indivisible items: one for goods and one for bads. For goods, we study two generalized envy freeness proxies (EF1 and EFX for goods) and three common welfare (utilitarian, egalitarian and Nash) efficiency notions. For bads, we study two generalized envy freeness proxies (1EF and XEF for goods) and two less common diswelfare (egalitarian and Nash) efficiency notions. Some existing algorithms for goods do not work for bads. We thus propose several new algorithms for the model with bads. Our new algorithms exhibit many nice properties. For example, with additive identical valuations, an allocation that maximizes the egalitarian diswelfare or Nash diswelfare is XEF and PE. Finally, we also give simple and tractable cases when these envy freeness proxies and welfare efficiency are attainable in combination (e.g. binary valuations, house allocations).

研究动机与目标

• 将公平性与效率概念从商品推广至坏物，解决现有算法在坏物场景下失效的局限性。
• 为坏物定义新的公平性代理（1EF 和 XEF），其对零边际估值具有鲁棒性，且比先前概念更通用。
• 设计新算法（Lipton–、leximax–、Alg-Identical–），在坏物分配中同时实现近乎无 envy 与福利效率。
• 建立近乎无 envy 与福利效率可同时实现的条件，包括 0/-1 估值等可解情形。
• 证明不可能性结果，表明在反单调相同估值下，1EF 与效率无法共存。

提出的方法

• 将 1EF 和 XEF 作为坏物的广义无 envy 代理，通过边际不悦感与集合移除来定义。
• 提出 Lipton– 算法，即 Lipton 算法的变体，用于在反单调估值下计算 1EF 分配。
• 提出 leximax– 解决方案，一种基于最大最小值的方法，在相同估值或两人不同估值下，可保证 XEF 与 MEDW（平等不悦感福利）。
• 设计 Alg-Identical– 算法，通过在负问题上镜像 Alg-Identical 算法，确保在相同估值下实现 XEF 与福利效率。
• 利用商品与坏物之间的对偶性：在负坏物问题中最大化纳什不悦感福利的分配，对应于原始坏物设置中的 XEF 与 PE 分配。
• 采用约化技术与问题负化，将商品结果转移至坏物，尤其适用于相同估值情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 现有商品公平性代理（如 EF1、EFX）能否被推广至坏物，以避免在低值情形下出现平凡满足？
• RQ2 是否存在新算法，可在坏物公平分配中同时实现近乎无 envy 与福利效率（帕累托效率、纳什福利、平等福利）？
• RQ3 在何种条件下（如 0/-1 估值、相同估值）可将 1EF 与 XEF 与福利效率结合用于坏物？
• RQ4 在反单调相同估值下，能否同时实现 1EF 与福利效率？若不能，原因是什么？
• RQ5 商品中公平性与效率的公理性质如何推广至坏物，特别是在对偶性与算法转移方面？

主要发现

• 当代理人对坏物具有相同估值时，最大化纳什不悦感福利（不悦感乘积）的分配必然为 XEF 与 PE。
• Lipton– 算法可计算任意反单调估值下的 1EF 分配，并控制最大 envy，将 Lipton 原始算法扩展至坏物场景。
• leximax– 解决方案可为任意数量代理人（在相同估值下）或两人（可能不同估值）生成 XEF 与 MEDW（平等不悦感福利）分配。
• 在 0/-1 估值下，响应式抽签算法可在 O(n) 时间内计算出 XEF、PE、MUW、MEW 与 mNDW 分配。
• 在反单调相同估值下，不存在 1EF 分配可为帕累托效率，通过两个代理人与三或四个物品的反例证明。
• 在反单调估值下，MEW（最大最小平等福利）分配可能不满足 1EF 或 MEDW，即使仅有两人，表明存在根本性不相容性。