[论文解读] Almost optimal classical approximation algorithms for a quantum generalization of Max-Cut

Sevag Gharibian, Ojas Parekh|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了用于量子海森堡模型的经典多项式时间近似算法，该模型是 Max-Cut 的量子推广。通过利用产品态优化和受 Goemans-Williamson 算法启发的随机舍入技术，作者在反铁磁性 XY 模型中实现了 0.649 的近似比，在反铁磁性海森堡 XYZ 模型中实现了 0.498 的近似比——几乎是最优的，因为产品态的理论上限分别为 2/3 和 1/2。

ABSTRACT

Approximation algorithms for constraint satisfaction problems (CSPs) are a central direction of study in theoretical computer science. In this work, we study classical product state approximation algorithms for a physically motivated quantum generalization of Max-Cut, known as the quantum Heisenberg model. This model is notoriously difficult to solve exactly, even on bipartite graphs, in stark contrast to the classical setting of Max-Cut. Here we show, for any interaction graph, how to classically and efficiently obtain approximation ratios 0.649 (anti-ferromagnetic XY model) and 0.498 (anti-ferromagnetic Heisenberg XYZ model). These are almost optimal; we show that the best possible ratios achievable by a product state for these models is 2/3 and 1/2, respectively.

研究动机与目标

• 开发用于量子海森堡模型的高效经典近似算法，该模型是非平凡的量子 Max-Cut 推广。
• 弥合已知近似比与量子约束满足问题中产品态可实现理论极限之间的差距。
• 将经典近似技术——特别是半定规划的随机舍入——扩展至量子局部哈密顿量问题。
• 仅使用产品态，为反铁磁性 XY 和 XYZ 海森堡模型建立近乎最优的近似比。
• 提供一种将一般 2-局部哈密顿量通过局部酉变换约化为规范形式的框架，从而可应用已知的近似算法。

提出的方法

• 作者基于 Goemans-Williamson 算法使用了一种随机舍入过程，应用于量子海森堡模型的半定规划松弛。
• 他们使用相关矩阵 M 建模相互作用项，并应用局部酉变换对 M 进行对角化，将问题约化为含参数 α、β、γ 的规范形式。
• 对于 XY 模型（γ = 0），通过求解半定规划并使用超平面切割对结果向量进行随机舍入，算法实现了 0.649 的近似比。
• 对于 XYZ 模型（α、β、γ ≠ 0），采用修改后的舍入方案，得到 0.498 的近似比，该结果来自在随机赋值下目标函数的期望值。
• 该方法利用了局部酉操作保持产品态近似比的性质，从而可将问题约化为已知可解的情形。
• 通过随机变量的期望内积推导理论界，其中 E[r_i r_j] = 2 arcsin(t)/π，t 为向量间夹角的余弦值。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于反铁磁性 XY 模型，产品态可实现的最佳近似比是多少？能否高效地实现？
• RQ2 在量子问题复杂度较高的前提下，经典算法能否为反铁磁性海森堡 XYZ 模型实现近乎最优的近似比？
• RQ3 如何将半定规划松弛适应于如 2-局部哈密顿量问题这样的量子约束满足问题？
• RQ4 在多大程度上，局部酉变换可将一般 2-局部哈密顿量约化为适合经典近似算法的规范形式？
• RQ5 相关矩阵 M 的秩与海森堡模型中可实现近似比之间存在何种关系？

主要发现

• 本文在反铁磁性 XY 模型中实现了 0.649 的近似比，几乎是最优的，因为产品态的理论上限为 2/3。
• 对于反铁磁性海森堡 XYZ 模型，算法达到了 0.498 的近似比，接近产品态理论最大值 1/2。
• XY 模型中 0.649 的近似比源于对半定规划结果的随机舍入方案，其期望值通过 Goemans-Williamson 分析中的反正弦公式计算得出。
• 对于 XYZ 模型，算法在最坏边情形下实现 0.462 的近似比，通过更精细的相关结构分析，提升至 0.498。
• 作者证明，当相关矩阵 M 为秩 1、2 或 3 的正交投影时，算法分别实现至少 0.878、0.649 或 0.498 的近似比，与特殊情形下的经典已知界一致。
• 证明了产品态近似理论上限分别为：秩-1、秩-2 和秩-3 相关矩阵对应的 1、2/3 和 1/2，从而确立了结果的近似最优性。