[论文解读] Almost Optimal Streaming Algorithms for Coverage Problems

MohammadHossein Bateni, Hossein Esfandiari+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了一种近乎最优的流式算法，用于在边到达模型下解决最大覆盖和最小集合覆盖问题，采用了一种新颖的压缩技术，实现了 (1−ε)α-近似解，空间复杂度为 Õ(n)，且与集合或元素的大小无关。该方法通过消除对完整集合的预言机访问假设，在更现实的流式环境中实现了近乎最优的近似比和空间复杂度，优于以往的工作。

ABSTRACT

Maximum coverage and minimum set cover problems --collectively called coverage problems-- have been studied extensively in streaming models. However, previous research not only achieve sub-optimal approximation factors and space complexities, but also study a restricted set arrival model which makes an explicit or implicit assumption on oracle access to the sets, ignoring the complexity of reading and storing the whole set at once. In this paper, we address the above shortcomings, and present algorithms with improved approximation factor and improved space complexity, and prove that our results are almost tight. Moreover, unlike most of previous work, our results hold on a more general edge arrival model. More specifically, we present (almost) optimal approximation algorithms for maximum coverage and minimum set cover problems in the streaming model with an (almost) optimal space complexity of $ ilde{O}(n)$, i.e., the space is {\em independent of the size of the sets or the size of the ground set of elements}. These results not only improve over the best known algorithms for the set arrival model, but also are the first such algorithms for the more powerful {\em edge arrival} model. In order to achieve the above results, we introduce a new general sketching technique for coverage functions: This sketching scheme can be applied to convert an $α$-approximation algorithm for a coverage problem to a $(1-\eps)α$-approximation algorithm for the same problem in streaming, or RAM models. We show the significance of our sketching technique by ruling out the possibility of solving coverage problems via accessing (as a black box) a $(1 \pm \eps)$-approximate oracle (e.g., a sketch function) that estimates the coverage function on any subfamily of the sets.

研究动机与目标

• 解决以往流式算法依赖于对完整集合的预言机访问所导致的局限性，该假设忽略了读取或存储大型集合的成本。
• 设计适用于更一般边到达模型的算法，其中集合-元素成员关系以逐个方式到达，而非作为整体集合到达。
• 在最大覆盖和最小集合覆盖问题上，实现近乎最优的近似比和空间复杂度（Õ(n)）。
• 证明标准压缩方法以及对覆盖函数的噪声预言机估计器的访问，不足以实现良好的近似解。
• 通过理论分析证明，即使在有利假设下，所提出的空间复杂度也几乎是紧致的。

提出的方法

• 提出一种新型通用压缩技术，可将任意 α-近似离线算法转化为 (1−ε)α-近似流式算法。
• 利用该压缩技术以流式方式维护集合族的紧凑摘要，实现在不存储完整集合的前提下高效计算。
• 在递归的多轮流式框架中应用该压缩方法：迭代地移除已覆盖元素，并在剩余图上应用压缩算法。
• 将基于压缩的选择与对剩余未覆盖元素的最终贪心遍历相结合，以确保常数因子近似。
• 通过参数化阈值（λ）对问题进行分层分解，逐步减少各轮中未覆盖元素的数量。
• 证明总空间使用量为 Õ(n/λ³)，在 r 轮下总空间为 Õ(nm^{O(1/r)})，该复杂度在 m 上为次线性且近乎最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计出一种流式算法，用于覆盖问题，实现近乎最优的近似比，且无需假设对完整集合的预言机访问？
• RQ2 在边到达模型下，是否可能实现 Õ(n) 的空间复杂度，且与集合或基集的大小无关？
• RQ3 能否构建一种通用的压缩技术，将任意离线 α-近似算法转换为 (1−ε)α-近似流式算法？
• RQ4 为何标准压缩方法在覆盖问题上会失效？覆盖函数的何种结构性质使其难以压缩？
• RQ5 对覆盖函数的 (1±ε)-近似预言机访问是否足以实现良好的流式近似？

主要发现

• 所提出的算法以概率 1−1/n 实现了 set cover 问题的 (1+ε)log m-近似解，空间复杂度为 Õ(nm^{O(1/r)})。
• 空间复杂度为 Õ(n)，与集合或基集的大小无关，因此近乎最优，且可扩展至大规模输入。
• 该算法适用于更现实的边到达模型，其中集合-元素成员关系以任意顺序到达，而以往工作受限于集合到达模型。
• 压缩技术可为任意 α-近似离线算法实现 (1−ε)α-近似，为流式覆盖问题提供了一般性框架。
• 本文证明，对覆盖函数的 (1±ε)-近似预言机访问不足以实现良好的流式近似，凸显了标准压缩方法的局限性。
• 空间复杂度几乎是紧致的：在标准假设下，任何算法在边到达模型中实现常数因子近似，其空间复杂度均无法优于 Õ(n)。