[论文解读] Amenability properties of the central Fourier algebra of a compact group

Mahmood Alaghmandan, Nico Spronk|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文研究了紧致群 G 上中心傅里叶代数 ZA(G) 的可约性性质。研究结果表明，若 G 具有非交换连通子群，则 ZA(G) 允许有界点导子；而 ZA(G) 可约当且仅当 G 是几乎阿贝尔的。主要贡献在于，基于群的结构（特别是其连通分支和有限商群），对 ZA(G) 的可约性、弱可约性以及超-τ-胡贝尔性质给出了完整的刻画。

ABSTRACT

We let the central Fourier algebra, ZA(G), be the subalgebra of functions u in the Fourier algebra A(G) of a compact group, for which u(xyx^{-1})=u(y) for all x,y in G. We show that this algebra admits bounded point derivations whenever G contains a non-abelian closed connected subgroup. Conversely when G is virtually abelian, then ZA(G) is amenable. Furthermore, for virtually abelian G, we establish which closed ideals admit bounded approximate identities. We also show that if ZA(G) is weakly amenable, even hyper-Tauberian, exactly when G admits no non-abelian connected subgroup. We also study the amenability constant of ZA(G) for finite G and exhibit totally disconnected groups G for which ZA(G) is non-amenable.

研究动机与目标

• 确定紧致群 G 的中心傅里叶代数 ZA(G) 在何种情况下是可约的、弱可约的或超-τ-胡贝尔的。
• 分析 ZA(G) 中有界点导子的存在性与群结构之间的关系，特别是非交换连通子群的存在性。
• 刻画当 G 为几乎阿贝尔时，ZA(G) 中哪些闭理想允许有界逼近单位元。
• 计算并分析有限群与投影群的 ZA(G) 的可约性常数 AM(ZA(G))。
• 将关于谱合成与弱谱合成的结果推广至 ZA(G) 的谱，推广了 Meany 与 Ricci 的早期工作。

提出的方法

• 将 ZA(G) 定义为 A(G) 的子代数，其在内自同构下不变，即满足对所有 x, y ∈ G 有 u(xyx⁻¹) = u(y) 的函数 u。
• 利用紧致群上的表示理论与调和分析，分析 ZA(G) 的结构，特别是当 G 为几乎阿贝尔或具有非阿贝尔连通分支时的情形。
• 应用算子空间理论与巴拿赫代数理论中的技术，包括有界逼近单位元与导子，研究可约性与弱可约性。
• 利用同构关系 ZA(G×G) ≅ ZA(G) ˆ⊗ ZA(G) 及对角元 1_Conj(G)_D，通过张量积性质计算可约性常数。
• 利用有限群中 AM(ZA(G)) 关于乘积的可乘性，将其应用于非阿贝尔有限群的无限乘积，以证明非可约性。
• 采用谱合成技术研究 ZA(G) 谱的有限集与单点集，推广 Meany 与 Ricci 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致群 G，中心傅里叶代数 ZA(G) 在何种情况下是可约的？
• RQ2 若 G 中存在非阿贝尔连通子群，是否意味着 ZA(G) 中存在有界点导子？
• RQ3 对于几乎阿贝尔的紧致群，ZA(G) 中哪些闭理想允许有界逼近单位元？
• RQ4 在何种情况下 ZA(G) 是弱可约或超-τ-胡贝尔的？
• RQ5 有限群与投影群的 ZA(G) 的可约性常数 AM(ZA(G)) 是多少？在何种情况下其为无穷大？

主要发现

• 若 G 包含非阿贝尔闭连通子群，则 ZA(G) 允许有界点导子。
• ZA(G) 可约当且仅当 G 是几乎阿贝尔的。
• ZA(G) 弱可约（且超-τ-胡贝尔）当且仅当其连通分支 G_e 是阿贝尔的。
• 对于有限群的无限乘积 P = ∏G_i，若无穷多个 G_i 是非阿贝尔的，则 ZA(P) 非可约，因为 AM(ZA(P)) = ∞。
• 可约性常数满足：对于有限乘积有 AM(ZA(P)) = ∏AM(ZA(G_i))，且当 G = H × F 且 F 为有限群时，有 AM(ZA(G)) ≥ AM(ZA(F))。
• 本文广泛推广了 Lasser 的可约性结果，并为 ZA(G) 谱的有限集与单点集提供了新的谱合成结果。