[论文解读] An embedding problem of Noetherian rings into the Witt vectors

Kazuma Shimomoto|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文证明了在混合特征 $ p>0 $ 下，存在一个完整局部诺特域 $ S $ 的正规域扩张 $ T $，使得 $ T $ 在 $ S $ 上整闭，包含一个非零非单位元 $ \pi $ 满足 $ \pi^p = p $，且弗罗贝尼乌斯映射在 $ T/\pi T $ 上是双射。该构造利用了威尔特向量与极大埃捷勒扩张，得到一个具有半完美约化和弗罗贝尼乌斯提升的环，推动了大科恩-麦克劳勒环与完美oid环理论的发展。

ABSTRACT

The aim of this article is to prove some results on the existence of an integral extension domain of a complete local Noetherian domain in mixed characteristic $p>0$ having certain distinguished properties with respect to the Frobenius map. We prove the main results by constructing required extension domains via Witt vectors and the method of maximal étale extensions. It is worth remarking that the resulting algebras have deep connections with the homological conjectures and the rings in $p$-adic Hodge theory.

研究动机与目标

• 解决诺特环嵌入到具有特殊弗罗贝尼乌斯性质的威尔特向量中的一个嵌入问题。
• 构造一个 $ S $-代数 $ T \subset S^+ $，使其为正规的、在 $ S $ 上整闭的，并满足对某个 $ \pi \in T $，弗罗贝尼乌斯映射在 $ T/\pi T $ 上是双射。
• 在绝对整闭包 $ S^+ $ 内部具体实现极大埃捷勒扩张，具有受控的分歧与弗罗贝尼乌斯结构。
• 为混合特征 $ p>0 $ 下的大科恩-麦克劳勒代数与完美oid环的存在性理论做出贡献。

提出的方法

• 利用 $ p $-型威尔特向量及其分歧扩张理论，特别是威尔特-弗罗贝尼乌斯映射，以控制 $ T/\pi T $ 的结构。
• 在 $ S^+ $ 局部落于 $ p $ 的局部化中应用极大埃捷勒扩张方法，确保 $ T[1/p] $ 是某个合适基环上的 ind-étale。
• 将 $ T $ 构造为介于 $ S $ 与 $ S^+ $ 之间的正规域，满足 $ \pi^p = p $，从而有 $ T/\pi T \cong T/pT $，这意味着 $ T/\pi T $ 上的弗罗贝尼乌斯映射是双射。
• 利用环 $ R_\infty $，即有限埃捷勒扩张的滤子余极限，将 $ T/\pi T $ 实现为有限埃捷勒 $ R_\infty/\pi R_\infty $-代数的滤子余极限。
• 将 $ T/P $ 上的 $ q $-次幂映射（$ P $ 为 $ \pi T $ 的极小素理想）提升为 $ T $ 上的环自同构 $ \mathbf{F} $，且与 $ T $ 上的弗罗贝尼乌斯映射相容。
• 依赖安德烈关于几乎纯度与完美oid代数的近期结果，以确保此类 $ T $ 的存在性，满足所需的整闭性与埃捷勒性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 $ S $-代数 $ T \subset S^+ $，使得 $ T/\pi T $ 是约化的，且对每个在 $ \pi T $ 上的极小素理想 $ P $，弗罗贝尼乌斯映射在 $ T/P $ 上是双射，且 $ \pi T $ 是根式理想？
• RQ2 能否在 $ S^+ $ 内部将极大埃捷勒扩张实现为一个子环 $ T $，使其在 $ \pi $-进基上具有受控的分歧与弗罗贝尼乌斯结构？
• RQ3 是否可以将 $ T/P $ 上的 $ q $-次幂映射提升为 $ T $ 上的环自同构，使其与 $ T/\pi T $ 上的弗罗贝尼乌斯映射可交换？
• RQ4 每个混合特征 $ p>0 $ 的完整局部域是否都存在一个具有半完美约化与弗罗贝尼乌斯提升的大科恩-麦克劳勒代数？

主要发现

• 存在一个 $ S $-代数 $ T $，其为正规的且在 $ S $ 上整闭，满足 $ \pi^p = p $，$ T/\pi T \cong T/pT $，且弗罗贝尼乌斯映射在 $ T/\pi T $ 上是双射。
• 理想 $ \pi T $ 是根式，因此 $ \pi T = \bigcap_{i \in \Lambda} P_i $，其中 $ \{P_i\} $ 是 $ \pi T $ 的所有极小素理想。
• 对每个在 $ \pi T $ 上的极小素理想 $ P $，存在一个环自同构 $ \mathbf{F}: T \xrightarrow{\sim} T $，满足 $ \mathbf{F}(P) = P $，且其诱导映射 $ \overline{\mathbf{F}}: T/P \xrightarrow{\sim} T/P $ 为 $ q $-次幂映射，其中 $ q = |\mathbb{F}| $。
• 环 $ T $ 位于一个交换图 $ R \to S \to T $ 中，其中 $ R = V[[x_2,\ldots,x_d]] $ 是一个完整正则局部环，且 $ R[1/a] \to S[1/a] $ 是 étale 的，满足 $ \operatorname{ht}(p,a) = 2 $。
• $ T[1/p] $ 是 $ S^+[1/p] $ 中的极大埃捷勒扩张，因此 $ T[1/p] $ 是 $ S[1/p] $ 上的 ind-étale，且 $ T[1/pa] $ 是 $ R[1/pa] $ 上的 ind-étale。
• $ T/\pi T[1/a] $ 是有限埃捷勒 $ R_\infty/\pi R_\infty[1/a] $-代数的滤子余极限，且 $ T/\pi T[1/a] $ 上的弗罗贝尼乌斯映射是双射。