[论文解读] An explicit Ricci potential for the Universal Moduli Space of Vector Bundles

Jørgen Ellegaard Andersen, Niccolo Skovgård Poulsen|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过在 $\bar{\nabla}$-方程中引入曲率修正项，对先前的坐标系进行修正，从而在黎曼曲面上稳定全纯向量丛的全模空间上构造了显式的凯勒坐标。推导出里奇势能的函数行列式公式，表明 $ F = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $ 满足 $ 2i\partial\bar{\partial}F = \text{Ric}^{1,1} - \frac{n}{2\pi}\omega_{M'} - \frac{n^2}{12\pi}\omega_{\mathcal{T}} $，从而确定了里奇形式的上同调类。

ABSTRACT

In this paper we modify the coordinate construction in our previous paper on the universal moduli space of pair consisting of a Riemann Surfaces and a stable holomorphic bundles on the Riemann Surface, so as to produce a new set of coordinates, which are in fact K\" ahler coordinates on this universal moduli space. Further, we give a functional determinant formula for the Ricci potential of the universal moduli space.

研究动机与目标

• 在黎曼曲面上稳定全纯向量丛的全模空间 $\mathcal{M}'$ 上构造局部凯勒坐标。
• 通过在定义方程中引入曲率修正项，解决先前 $\mathcal{M}'$ 上坐标系非凯勒的问题。
• 为 $\mathcal{M}'$ 上凯勒度量的里奇势能推导出显式的函数行列式公式。
• 以魏尔-彼得森与塞沙德里-阿蒂亚-博特-戈德曼辛形式表示里奇形式的上同调类。
• 为后续工作中计算希钦联络的曲率提供基础工具。

提出的方法

• 通过在 [5] 的坐标构造中，向 $\bar{\partial}$-方程中添加项 $-\frac{1}{2}\tilde{g}^{-1}_X\text{tr}\nu\otimes\nu$，对丛映射 $\chi^{\mu\oplus\nu}$ 进行修正，确保所得坐标为凯勒坐标。
• 证明修正后的 $\chi^{\mu\oplus\nu}$ 满足包含双曲度量 $\tilde{g}_X$、全纯丛 $E$ 以及切空间类 $\mu \in H^1(X,TX)$、$\nu \in H^1(X,\text{End}E)$ 的 $\bar{\partial}$-方程。
• 证明所得坐标 $ (\mu,\nu) \mapsto (\rho^{\mu\oplus\nu}_{\mathbb{H}}, \rho^{\mu\oplus\nu}_E) $ 关于自然辛形式 $\omega_{\mathcal{M}'} = p^*_{\mathcal{T}}\omega_{\mathcal{T}} + p^*_{M'}\omega_{M'}$ 为全纯且凯勒。
• 将里奇势能定义为 $ F(\rho_{\mathbb{H}}, \rho_E) = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $，其中 $\Delta_0$ 与 $\Delta_{\text{Ad}E}$ 分别为 $X$ 与伴随丛上的拉普拉斯算子。
• 利用黎曼曲面上的变分法与谱理论，计算 $\partial\bar{\partial}F$，通过热核与格林函数分析将其与里奇形式及辛形式 $\omega_{\mathcal{T}}$ 和 $\omega_{M'}$ 关联。
• 应用斯托克斯定理与迹恒等式，简化格林函数的变分，表明曲率修正项源于 $\text{Ad}E$-扭曲拉普拉斯算子与双曲度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对向量丛全模空间上的坐标系进行修正，使其从仅全纯坐标变为凯勒坐标？
• RQ2 黎曼曲面上稳定全纯丛模空间上凯勒度量的里奇势能是否存在显式的函数行列式公式？
• RQ3 凯勒度量在 $\mathcal{M}'$ 上的里奇形式如何与典范辛形式 $\omega_{\mathcal{T}}$ 和 $\omega_{M'}$ 相关联？
• RQ4 函数 $ F = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $ 是否为 $\mathcal{M}'$ 上凯勒度量的全局里奇势能？
• RQ5 在平凡行列式丛的模空间上，里奇形式的上同调类为何？

主要发现

• 引入曲率修正项 $-\frac{1}{2}\tilde{g}^{-1}_X\text{tr}\nu\otimes\nu$ 的修正坐标系，在 $\mathcal{M}'$ 上产生局部凯勒坐标。
• 函数 $ F = \frac{1}{2}\log\frac{\det\Delta_{\text{Ad}E}}{\det\Delta_0} $ 是 $\mathcal{M}'_{\mathcal{O}}$（平凡行列式稳定丛的模空间）上凯勒度量的里奇势能。
• 里奇形式满足 $ 2i\partial\bar{\partial}F = \text{Ric}^{1,1} - \frac{n}{2\pi}\omega_{M'} - \frac{n^2}{12\pi}\omega_{\mathcal{T}} $，明确确定了里奇形式的上同调类。
• 在形变下 $\log\det\Delta_{\text{Ad}E}$ 的变分通过格林函数上 $\partial\partial^\prime$-作用的核计算，得到涉及 $\bar{L}_{\mu\oplus\nu}$ 与迹为零自同态投影的迹公式。
• $\log\det\Delta_0$ 的变分与魏尔-彼得森形式相关，满足 $ \partial\bar{\partial}\log\det\Delta_0 = \frac{i}{6\pi}\omega_{\mathcal{T}} - \text{tr}((\mu_1\bar{\mu}_2 - \mu_1\partial\Delta_0^{-1}\partial^*\bar{\mu}_2)P_{TX}) $，确认了坐标的凯勒性质。
• 里奇形式的上同调类为 $ \frac{n}{2\pi}\omega_{M'} + \frac{n^2}{12\pi}\omega_{\mathcal{T}} $，这是后续工作中计算希钦联络曲率的核心。